Para começar, vale lembrar o que é um diferencial e qual o significado matemático que ele carrega.
A diferencial de uma função é o produto da derivada de uma função de um argumento e a diferencial do próprio argumento. Matematicamente, este conceito pode ser escrito como uma expressão: dy=y'dx.
Por sua vez, de acordo com a definição da derivada da função, a igualdade y'=lim dx-0(dy/dx) é verdadeira, e de acordo com a definição do limite, a expressão dy/dx=x'+α, onde o parâmetro α é um valor matemático infinitesimal.
Portanto, ambas as partes da expressão devem ser multiplicadas por dx, o que resulta em dy=y'dx+αdx, onde dx é uma mudança infinitesimal no argumento, (αdx) é um valor que pode ser desprezado, então dy é o incremento da função e (ydx) é a parte principal do incremento ou diferencial.
A diferencial de uma função é o produto da derivada de uma função e a diferencial do argumento.
Agora vale a pena considerar as regras básicas de diferenciação, que são bastante usadas na análise matemática.
Teorema. A derivada da soma é igual à soma das derivadas obtidas dos termos: (a+c)'=a'+c'.
Da mesma formaesta regra também se aplica para encontrar a derivada da diferença.
A consequência desta regra de diferenciação é a afirmação de que a derivada de um certo número de termos é igual à soma das derivadas obtidas desses termos.
Por exemplo, se você precisar encontrar a derivada da expressão (a+c-k)', o resultado será a expressão a'+c'-k'.
Teorema. A derivada do produto de funções matemáticas que são diferenciáveis em um ponto é igual à soma que consiste no produto do primeiro fator e a derivada do segundo e o produto do segundo fator e a derivada do primeiro.
Matematicamente, o teorema será escrito da seguinte forma: (ac)'=ac'+a'c. Uma consequência do teorema é a conclusão de que o fator constante na derivada do produto pode ser retirado da derivada da função.
Na forma de uma expressão algébrica, esta regra será escrita da seguinte forma: (ac)'=ac', onde a=const.
Por exemplo, se você precisar encontrar a derivada da expressão (2a3)', o resultado será a resposta: 2(a3)'=23a2=6a2.
Teorema. A derivada da razão das funções é igual à razão entre a diferença entre a derivada do numerador multiplicada pelo denominador e o numerador multiplicado pela derivada do denominador e o quadrado do denominador.
Matematicamente, o teorema será escrito da seguinte forma: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
Em conclusão, é necessário considerar as regras para diferenciar funções complexas.
Teorema. Seja a função y \u003d f (x), onde x \u003d c (t), então a função y, em relação aà variável m, é chamado de complexo.
Assim, na análise matemática, a derivada de uma função complexa é interpretada como a derivada da própria função, multiplicada pela derivada de sua subfunção. Por conveniência, as regras para diferenciar funções complexas são apresentadas na forma de uma tabela.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (àс)' | ac(ln a)c' |
| (åс)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (log ac)' | 1/(сlg a)c' |
| (sen c)' | cos ss' |
| (cos c)' | -sin ss' |
Com o uso regular desta tabela, as derivadas são fáceis de lembrar. As derivadas restantes de funções complexas podem ser encontradas aplicando as regras para diferenciar funções que foram indicadas nos teoremas e corolários a elas.
