Ao estudar as propriedades de uma equação quadrática, foi estabelecida uma restrição - para um discriminante menor que zero, não há solução. Foi imediatamente estipulado que estamos falando de um conjunto de números reais. A mente curiosa de um matemático estará interessada - qual é o segredo contido na cláusula sobre valores reais?
Com o tempo, os matemáticos introduziram o conceito de números complexos, onde o valor condicional da segunda raiz de menos um é tomado como uma unidade.
Histórico
A teoria matemática se desenvolve sequencialmente, do simples ao complexo. Vamos descobrir como surgiu o conceito chamado "número complexo" e por que ele é necessário.
Desde tempos imemoriais, a base da matemática era a conta usual. Os pesquisadores conheciam apenas o conjunto natural de valores. Adição e subtração eram simples. À medida que as relações econômicas se tornaram mais complexas, a multiplicação começou a ser usada em vez de somar os mesmos valores. Existe uma operação inversa paramultiplicação - divisão.
O conceito de número natural limitava o uso de operações aritméticas. É impossível resolver todos os problemas de divisão no conjunto de valores inteiros. Trabalhar com frações levou primeiro ao conceito de valores racionais e depois a valores irracionais. Se para o racional é possível indicar a localização exata do ponto na linha, para o irracional é impossível indicar tal ponto. Você só pode aproximar o intervalo. A união dos números racionais e irracionais formou um conjunto real, que pode ser representado como uma certa linha com uma dada escala. Cada passo ao longo da linha é um número natural, e entre eles estão valores racionais e irracionais.
A era da matemática teórica começou. O desenvolvimento da astronomia, mecânica, física exigiu a solução de equações cada vez mais complexas. Em geral, as raízes da equação quadrática foram encontradas. Ao resolver um polinômio cúbico mais complexo, os cientistas se depararam com uma contradição. O conceito de uma raiz cúbica de um negativo faz sentido, mas para uma raiz quadrada, a incerteza é obtida. Além disso, a equação quadrática é apenas um caso especial da cúbica.
Em 1545, o italiano J. Cardano propôs introduzir o conceito de número imaginário.
Este número é a segunda raiz de menos um. O termo número complexo foi finalmente formado apenas trezentos anos depois, nas obras do famoso matemático Gauss. Ele propôs estender formalmente todas as leis da álgebra para o número imaginário. A linha real foi estendida paraaviões. O mundo é maior.
Conceitos básicos
Lembre-se de várias funções que têm restrições no conjunto real:
- y=arcsin(x), definido entre negativo e positivo 1.
- y=ln(x), o logaritmo decimal faz sentido com argumentos positivos.
- raiz quadrada y=√x, calculada apenas para x ≧ 0.
Denotando i=√(-1), introduzimos tal conceito como um número imaginário, isso removerá todas as restrições do domínio de definição das funções acima. Expressões como y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) fazem sentido em algum espaço de números complexos.
A forma algébrica pode ser escrita como uma expressão z=x + i×y no conjunto de valores reais de x e y, e i2 =-1.
O novo conceito remove todas as restrições ao uso de qualquer função algébrica e se assemelha a um gráfico de uma linha reta em coordenadas de valores reais e imaginários.
Plano complexo
A forma geométrica dos números complexos nos permite representar visualmente muitas de suas propriedades. No eixo Re(z) marcamos os valores reais de x, no Im(z) - os valores imaginários de y, então o ponto z no plano exibirá o valor complexo necessário.
Definições:
- Re(z) - eixo real.
- Im(z) - significa o eixo imaginário.
- z - ponto condicional de um número complexo.
- O valor numérico do comprimento do vetor de zero a z é chamadomódulo.
- Os eixos real e imaginário dividem o plano em quartos. Com um valor positivo das coordenadas - I quarto. Quando o argumento do eixo real for menor que 0, e o eixo imaginário for maior que 0 - II trimestre. Quando as coordenadas são negativas - III trimestre. O último, quarto trimestre contém muitos valores reais positivos e valores imaginários negativos.
Assim, em um plano com valores de coordenadas x e y, pode-se sempre visualizar um ponto de um número complexo. O caractere i é introduzido para separar a parte real da imaginária.
Propriedades
- Quando o valor do argumento imaginário é zero, obtemos apenas um número (z=x), que está localizado no eixo real e pertence ao conjunto real.
- Caso especial quando o valor do argumento real se torna zero, a expressão z=i×y corresponde à localização do ponto no eixo imaginário.
- A forma geral de z=x + i×y será para valores diferentes de zero dos argumentos. Indica a localização do ponto que caracteriza o número complexo em um dos quartos.
Notação trigonométrica
Lembre-se do sistema de coordenadas polares e da definição das funções trigonométricas sin e cos. É óbvio que com a ajuda dessas funções é possível descrever a localização de qualquer ponto no plano. Para isso, basta conhecer o comprimento do feixe polar e o ângulo de inclinação em relação ao eixo real.
Definição. Uma entrada da forma ∣z ∣ multiplicada pela soma das funções trigonométricas cos(ϴ) e a parte imaginária i ×sin(ϴ) é chamada de número complexo trigonométrico. Aqui a designação é o ângulo de inclinação em relação ao eixo real
ϴ=arg(z) er=∣z∣, comprimento do feixe.
Da definição e propriedades das funções trigonométricas, segue uma fórmula de Moivre muito importante:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Usando esta fórmula, é conveniente resolver muitos sistemas de equações contendo funções trigonométricas. Especialmente quando surge o problema de aumentar para um poder.
Módulo e fase
Para completar a descrição de um conjunto complexo, propomos duas definições importantes.
Conhecendo o teorema de Pitágoras, é fácil calcular o comprimento do feixe no sistema de coordenadas polares.
r=∣z∣=√(x2 + y2), tal notação em um espaço complexo é chamada de " módulo" e caracteriza a distância de 0 a um ponto no plano.
O ângulo de inclinação do feixe complexo para a linha real ϴ é comumente chamado de fase.
A definição mostra que as partes real e imaginária são descritas usando funções cíclicas. A saber:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Inversamente, a fase está relacionada aos valores algébricos através da fórmula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, a correção µ é introduzida para levar em conta a periodicidade das funções geométricas.
Fórmula de Euler
Os matemáticos costumam usar a forma exponencial. Os números planos complexos são escritos como expressões
z=r × ei×ϴ , que segue da fórmula de Euler.
Este registro é amplamente utilizado para o cálculo prático de grandezas físicas. Forma de apresentação no formulárionúmeros complexos exponenciais é especialmente conveniente para cálculos de engenharia, onde se torna necessário calcular circuitos com correntes senoidais e é necessário conhecer o valor de integrais de funções com um determinado período. Os próprios cálculos servem como ferramenta no projeto de várias máquinas e mecanismos.
Definir operações
Como já mencionado, todas as leis algébricas de trabalhar com funções matemáticas básicas se aplicam a números complexos.
Operação de soma
Ao adicionar valores complexos, suas partes reais e imaginárias também são adicionadas.
z=z1 + z2 onde z1 e z2 - números complexos gerais. Transformando a expressão, após abrir os colchetes e simplificar a notação, obtemos o argumento real x=(x1 + x2), o argumento imaginário y=(y 1 + y2).
No gráfico, parece a adição de dois vetores, de acordo com a conhecida regra do paralelogramo.
Operação de subtração
Considerado como um caso especial de adição, quando um número é positivo, o outro é negativo, ou seja, localizado no quarto do espelho. A notação algébrica se parece com a diferença entre as partes reais e imaginárias.
z=z1 - z2, ou, levando em consideração os valores dos argumentos, da mesma forma que a adição operação, obtemos para os valores reais x=(x1 - x2) e imaginário y=(y1- y2).
Multiplicação no plano complexo
Usando as regras para trabalhar com polinômios, derivamos a fórmulapara resolver números complexos.
Seguindo as regras algébricas gerais z=z1×z2, descreva cada argumento e liste os semelhantes. As partes real e imaginária podem ser escritas assim:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Fica mais bonito se usarmos números complexos exponenciais.
A expressão fica assim: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
De forma mais simples, multiplicam-se os módulos e somam-se as fases.
Divisão
Ao considerar a operação de divisão como o inverso da multiplicação, obtemos uma expressão simples em notação exponencial. Dividindo o valor z1 por z2 é o resultado da divisão de seus módulos e diferença de fase. Formalmente, ao usar a forma exponencial de números complexos, fica assim:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Na forma de notação algébrica, a operação de dividir os números do plano complexo é escrita um pouco mais complicada:
z=z1 / z2.
Descrevendo argumentos e realizando transformações polinomiais, é fácil obter valoresx=x1 × x2 + y1 × y2, respectivamente y=x2 × y1 - x1 × y2 , porém, dentro do espaço descrito, esta expressão faz sentido se z2 ≠ 0.
Extraia a raiz
Todas as opções acima podem ser aplicadas ao definir funções algébricas mais complexas - elevando a qualquer potência e inversa a ela - extraindo a raiz.
Usando o conceito geral de elevar à potência n, temos a definição:
zn =(r × eiϴ).
Usando propriedades comuns, reescreva como:
zn =rn × eiϴ.
Temos uma fórmula simples para elevar um número complexo a uma potência.
Da definição do grau temos uma consequência muito importante. Uma potência par da unidade imaginária é sempre 1. Qualquer potência ímpar da unidade imaginária é sempre -1.
Agora vamos estudar a função inversa - extraindo a raiz.
Para facilitar a notação, vamos tomar n=2. A raiz quadrada w do valor complexo z no plano complexo C é considerada a expressão z=±, válida para qualquer argumento real maior ou igual a zero. Para w ≦ 0, não há solução.
Vejamos a equação quadrática mais simples z2 =1. Usando fórmulas de números complexos, reescreva r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Pode-se ver pelo registro que r2 =1 e ϴ=0, portanto, temos uma solução única igual a 1. Mas isso contradiz a noção de que z=-1 também se encaixa na definição de raiz quadrada.
Vamos descobrir o que não levamos em consideração. Se lembrarmos a notação trigonométrica, restauramos a declaração - com uma mudança periódica na fase ϴ, o número complexo não muda. Seja p o valor do período, então temos r2 × ei2ϴ =ei(0+p), onde 2ϴ=0 + p, ou ϴ=p / 2. Portanto, ei0 =1 e eip/2 =-1. Obtivemos a segunda solução, que corresponde ao entendimento geral da raiz quadrada.
Então, para encontrar uma raiz arbitrária de um número complexo, seguiremos o procedimento.
- Escreva a forma exponencial w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k é um número inteiro arbitrário.
- O número desejado também é representado na forma de Euler z=r × eiϴ.
- Use a definição geral da função de extração de raiz r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- A partir das propriedades gerais da igualdade de módulos e argumentos, escrevemos rn =∣w∣ e nϴ=arg (w) + p×k.
- O registro final da raiz de um número complexo é descrito pela fórmula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Nota. O valor de ∣w∣, por definição,é um número real positivo, então a raiz de qualquer grau faz sentido.
Campo e conjugação
Em conclusão, damos duas definições importantes que são de pouca importância para resolver problemas aplicados com números complexos, mas são essenciais para o desenvolvimento da teoria matemática.
As expressões para adição e multiplicação formam um corpo se satisfazem os axiomas para quaisquer elementos do plano complexo z:
- A soma complexa não muda ao mudar de lugar de termos complexos.
- A afirmação é verdadeira - em uma expressão complexa, qualquer soma de dois números pode ser substituída por seu valor.
- Existe um valor neutro 0 para o qual z + 0=0 + z=z é verdadeiro.
- Para qualquer z existe um oposto - z, cuja adição resulta em zero.
- Ao mudar de lugar de fatores complexos, o produto complexo não muda.
- A multiplicação de quaisquer dois números pode ser substituída pelo seu valor.
- Existe um valor neutro 1, cuja multiplicação não altera o número complexo.
- Para todo z ≠ 0, há um inverso de z-1, que multiplica por 1.
- Multiplicar a soma de dois números por um terço equivale à operação de multiplicar cada um deles por este número e somar os resultados.
- 0 ≠ 1.
Os números z1 =x + i×y e z2 =x - i×y são chamados de conjugados.
Teorema. Para conjugação, a afirmação é verdadeira:
- A conjugação da soma é igual à soma dos elementos conjugados.
- O conjugado do produto éproduto de conjugações.
- A conjugação da conjugação é igual ao próprio número.
Em álgebra geral, tais propriedades são chamadas de automorfismos de campo.
Exemplos
Seguindo as regras e fórmulas dadas de números complexos, você pode facilmente operar com eles.
Vamos considerar os exemplos mais simples.
Problema 1. Usando a equação 3y +5 x i=15 - 7i, determine x e y.
Decisão. Lembre-se da definição de igualdades complexas, então 3y=15, 5x=-7. Portanto, x=-7 / 5, y=5.
Tarefa 2. Calcule os valores 2 + i28 e 1 + i135.
Decisão. Obviamente, 28 é um número par, da consequência da definição de um número complexo na potência temos i28 =1, o que significa que a expressão 2 + i 28 =3. O segundo valor, i135 =-1, depois 1 + i135 =0.
Tarefa 3. Calcule o produto dos valores 2 + 5i e 4 + 3i.
Decisão. Das propriedades gerais da multiplicação de números complexos, obtemos (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). O novo valor será -7 + 26i.
Tarefa 4. Calcule as raízes da equação z3 =-i.
Decisão. Existem várias maneiras de encontrar um número complexo. Vamos considerar um dos possíveis. Por definição, ∣ - i∣=1, a fase para -i é -p / 4. A equação original pode ser reescrita como r3ei3ϴ =e-p/4+pk, de onde z=e-p / 12 + pk/3, para qualquer inteiro k.
O conjunto solução tem a forma (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Por que precisamos de números complexos
A história conhece muitos exemplos em que os cientistas, trabalhando em uma teoria, nem pensam na aplicação prática de seus resultados. A matemática é, antes de tudo, um jogo da mente, uma adesão estrita às relações de causa e efeito. Quase todas as construções matemáticas são reduzidas a resolver equações integrais e diferenciais, e essas, por sua vez, com alguma aproximação, são resolvidas encontrando as raízes dos polinômios. Aqui encontramos primeiro o paradoxo dos números imaginários.
Cientistas naturalistas, resolvendo problemas completamente práticos, recorrendo a soluções de várias equações, descobrem paradoxos matemáticos. A interpretação desses paradoxos leva a descobertas absolutamente surpreendentes. A natureza dual das ondas eletromagnéticas é um exemplo. Os números complexos desempenham um papel crucial na compreensão de suas propriedades.
Isso, por sua vez, encontrou aplicação prática em óptica, eletrônica de rádio, energia e muitos outros campos tecnológicos. Outro exemplo, muito mais difícil de entender os fenômenos físicos. A antimatéria foi prevista na ponta de uma caneta. E só muitos anos depois, começam as tentativas de sintetizá-lo fisicamente.
Não pense que só na física existem tais situações. Descobertas não menos interessantes são feitas na vida selvagem, na síntese de macromoléculas, durante o estudo da inteligência artificial. E é tudo graças aexpansão de nossa consciência, afastando-se da simples adição e subtração de valores naturais.
