Um cilindro é uma das figuras tridimensionais simples que é estudada no curso de geometria escolar (geometria sólida de seção). Nesse caso, muitas vezes surgem problemas no cálculo do volume e da massa de um cilindro, bem como na determinação de sua área de superfície. As respostas para as perguntas marcadas são fornecidas neste artigo.
O que é um cilindro?
Antes de responder à pergunta, qual é a massa do cilindro e seu volume, vale a pena considerar o que é essa figura espacial. Deve-se notar imediatamente que um cilindro é um objeto tridimensional. Ou seja, no espaço, você pode medir três de seus parâmetros ao longo de cada um dos eixos em um sistema de coordenadas retangulares cartesianas. De fato, para determinar inequivocamente as dimensões de um cilindro, basta conhecer apenas dois de seus parâmetros.
Cilindro é uma figura tridimensional formada por dois círculos e uma superfície cilíndrica. Para representar mais claramente esse objeto, basta pegar um retângulo e começar a girá-lo em torno de qualquer um de seus lados, que será o eixo de rotação. Neste caso, o retângulo giratório descreverá a formarotação - cilindro.
Duas superfícies redondas são chamadas de bases do cilindro, elas são caracterizadas por um certo raio. A distância entre as bases é chamada de altura. As duas bases estão interligadas por uma superfície cilíndrica. A linha que passa pelos centros de ambos os círculos é chamada de eixo do cilindro.
Volume e área de superfície
Como você pode ver acima, o cilindro é definido por dois parâmetros: a altura h e o raio de sua base r. Conhecendo esses parâmetros, é possível calcular todas as outras características do corpo considerado. Abaixo estão os principais:
- A área das bases. Este valor é calculado pela fórmula: S1=2pir2, onde pi é pi igual a 3, 14. Dígito 2 na fórmula aparece porque o cilindro tem duas bases idênticas.
- Área de superfície cilíndrica. Pode ser calculado assim: S2=2pirh. É fácil entender esta fórmula: se uma superfície cilíndrica for cortada verticalmente de uma base para outra e expandida, será obtido um retângulo, cuja altura será igual à altura do cilindro e a largura corresponderá a a circunferência da base da figura tridimensional. Como a área do retângulo resultante é o produto de seus lados, que são iguais a h e 2pir, obtém-se a fórmula acima.
- Área da superfície do cilindro. É igual à soma das áreas de S1 e S2, obtemos: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Volume. Esse valor é fácil de encontrar, basta multiplicar a área de uma base pela altura da figura: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Determinando a massa de um cilindro
Finalmente, vale a pena ir direto ao assunto do artigo. Como determinar a massa de um cilindro? Para fazer isso, você precisa conhecer seu volume, a fórmula de cálculo apresentada acima. E a densidade da substância de que consiste. A massa é determinada por uma fórmula simples: m=ρV, onde ρ é a densidade do material que forma o objeto em questão.
O conceito de densidade caracteriza a massa de uma substância que está em uma unidade de volume do espaço. Por exemplo. Sabe-se que o ferro tem uma densidade maior que a madeira. Isso significa que, no caso de volumes iguais de ferro e matéria de madeira, o primeiro terá uma massa muito maior do que o último (aproximadamente 16 vezes).
Cálculo da massa de um cilindro de cobre
Considere um problema simples. É necessário encontrar a massa de um cilindro feito de cobre. Para definir, deixe o cilindro ter um diâmetro de 20 cm e uma altura de 10 cm.
Antes de começar a resolver o problema, você deve lidar com os dados de origem. O raio do cilindro é igual à metade do seu diâmetro, o que significa r=20/2=10 cm, enquanto a altura é h=10 cm. Como o cilindro considerado no problema é feito de cobre, então, referindo-se ao dados de referência, escrevemos o valor da densidade deste material: ρ=8, 96 g/cm3 (para temperatura 20 °C).
Agora você pode começar a resolver o problema. Primeiro, vamos calcular o volume: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Então a massa do cilindro será: m=ρV=8,963140=28134 gramas ou aproximadamente 28 quilogramas.
Você deve prestar atenção à dimensão das unidades durante o uso nas fórmulas correspondentes. Assim, no problema, todos os parâmetros foram apresentados em centímetros e gramas.
Cilindros homogêneos e ocos
Do resultado obtido acima, pode-se observar que um cilindro de cobre com dimensões relativamente pequenas (10 cm) possui uma grande massa (28 kg). Isso se deve não apenas ao fato de ser feito de material pesado, mas também ao fato de ser homogêneo. Esse fato é importante entender, pois a fórmula acima para o cálculo da massa só pode ser utilizada se o cilindro for totalmente (por fora e por dentro) feito do mesmo material, ou seja, homogêneo.
Na prática, cilindros ocos são frequentemente usados (por exemplo, barris cilíndricos para água). Ou seja, são feitas de finas folhas de algum material, mas por dentro estão vazias. Para um cilindro oco, a fórmula indicada para calcular a massa não pode ser usada.
Cálculo da massa de um cilindro oco
É interessante calcular a massa de um cilindro de cobre se estiver vazio por dentro. Por exemplo, seja feito de uma fina folha de cobre com espessura de apenas d=2 mm.
Para resolver este problema, você precisa encontrar o volume do próprio cobre, do qual o objeto é feito. Não o volume do cilindro. Porque a espessuraa folha é pequena em comparação com as dimensões do cilindro (d=2 mm e r=10 cm), então o volume de cobre do qual o objeto é feito pode ser encontrado multiplicando toda a área da superfície do cilindro pela espessura da folha de cobre, obtemos: V=dS 3=d2pir(r+h). Substituindo os dados do problema anterior, obtemos: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. A massa de um cilindro oco pode ser obtida multiplicando o volume obtido de cobre, necessário para sua fabricação, pela densidade do cobre: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g ou 2,3 kg. Ou seja, o cilindro oco considerado pesa 12 (28, 1/2, 3) vezes menos que um homogêneo.
