Triângulo, quadrado, hexágono - essas figuras são conhecidas por quase todos. Mas nem todo mundo sabe o que é um polígono regular. Mas estas são todas as mesmas formas geométricas. Um polígono regular é aquele que possui ângulos e lados iguais. Existem muitas dessas figuras, mas todas têm as mesmas propriedades e as mesmas fórmulas se aplicam a elas.
Propriedades de polígonos regulares
Qualquer polígono regular, seja um quadrado ou um octógono, pode ser inscrito em um círculo. Esta propriedade básica é frequentemente usada na construção de uma figura. Além disso, um círculo também pode ser inscrito em um polígono. Neste caso, o número de pontos de contato será igual ao número de seus lados. É importante que um círculo inscrito em um polígono regular tenha um centro comum com ele. Essas figuras geométricas estão sujeitas aos mesmos teoremas. Qualquer ladode um n-gon regular está relacionado com o raio R do círculo circunscrito ao seu redor, portanto, pode ser calculado usando a seguinte fórmula: a=2R ∙ sen180°. Através do raio do círculo, você pode encontrar não apenas os lados, mas também o perímetro do polígono.
Como encontrar o número de lados de um polígono regular
Qualquer n-gon regular consiste em um certo número de segmentos iguais entre si, que, quando conectados, formam uma linha fechada. Neste caso, todos os cantos da figura formada têm o mesmo valor. Os polígonos são divididos em simples e complexos. O primeiro grupo inclui um triângulo e um quadrado. Polígonos complexos têm mais lados. Eles também incluem figuras em forma de estrela. Para polígonos regulares complexos, os lados são encontrados inscrevendo-os em um círculo. Vamos dar uma prova. Desenhe um polígono regular com um número arbitrário de lados n. Descreva um círculo ao seu redor. Especifique o raio R. Agora imagine que algum n-gon seja dado. Se os pontos de seus ângulos estão em um círculo e são iguais entre si, então os lados podem ser encontrados pela fórmula: a=2R ∙ senα: 2.
Como encontrar o número de lados de um triângulo regular inscrito
Um triângulo equilátero é um polígono regular. As mesmas fórmulas se aplicam a ele quanto ao quadrado e ao n-gon. Um triângulo será considerado correto se tiver lados do mesmo comprimento. Neste caso, os ângulos são 60⁰. Construir um triângulo de lado dado comprimento a. Conhecendo sua mediana e altura,você pode encontrar o valor de seus lados. Para fazer isso, usaremos o método de encontrar através da fórmula a \u003d x: cosα, onde x é a mediana ou altura. Como todos os lados do triângulo são iguais, obtemos a=b=c. Então a seguinte afirmação será verdadeira a=b=c=x: cosα. Da mesma forma, você pode encontrar o valor dos lados em um triângulo isósceles, mas x será a altura dada. Ao mesmo tempo, deve ser projetado estritamente na base da figura. Assim, conhecendo a altura x, encontramos o lado a de um triângulo isósceles usando a fórmula a \u003d b \u003d x: cosα. Depois de encontrar o valor de a, você pode calcular o comprimento da base c. Vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Vamos procurar o valor da metade da base c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Então c=2xtanα. Aqui está uma maneira simples de encontrar o número de lados de qualquer polígono inscrito.
Calcule os lados de um quadrado inscrito em um círculo
Como qualquer outro polígono regular inscrito, um quadrado tem lados e ângulos iguais. As mesmas fórmulas se aplicam a ele como ao triângulo. Você pode calcular os lados de um quadrado usando o valor da diagonal. Vamos considerar esse método com mais detalhes. Sabe-se que a diagonal bissecta o ângulo. Inicialmente, seu valor era de 90 graus. Assim, após a divisão, dois triângulos retângulos são formados. Seus ângulos de base serão de 45 graus. Assim, cada lado do quadrado será igual, ou seja: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, onde e é a diagonal do quadrado ou a base de o triângulo retângulo formado após a divisão. Não é a única maneiraencontrar os lados de um quadrado. Vamos inscrever esta figura em um círculo. Conhecendo o raio desse círculo R, encontramos o lado do quadrado. Vamos calculá-lo da seguinte forma a4=R√2. Os raios de polígonos regulares são calculados pela fórmula R=a: 2tg (360o: 2n), onde a é o comprimento do lado.
Como calcular o perímetro de um n-gon
O perímetro de um n-gon é a soma de todos os seus lados. É fácil calculá-lo. Para fazer isso, você precisa conhecer os valores de todos os lados. Para alguns tipos de polígonos, existem fórmulas especiais. Eles permitem que você encontre o perímetro muito mais rápido. Sabe-se que qualquer polígono regular tem lados iguais. Portanto, para calcular seu perímetro, basta conhecer pelo menos um deles. A fórmula dependerá do número de lados da figura. Em geral, fica assim: P \u003d an, onde a é o valor do lado e n é o número de ângulos. Por exemplo, para encontrar o perímetro de um octógono regular com um lado de 3 cm, você precisa multiplicá-lo por 8, ou seja, P=3 ∙ 8=24 cm. Para um hexágono com um lado de 5 cm, calculamos da seguinte forma: P=5 ∙ 6=30 cm. E assim para cada polígono.
Encontrando o perímetro de um paralelogramo, um quadrado e um losango
Dependendo de quantos lados tem um polígono regular, seu perímetro é calculado. Isso torna a tarefa muito mais fácil. De fato, ao contrário de outras figuras, neste caso não é necessário olhar para todos os lados, apenas um é suficiente. Pelo mesmo princípio, encontramos o perímetro emquadriláteros, ou seja, um quadrado e um losango. Apesar de serem figuras diferentes, a fórmula para elas é a mesma P=4a, onde a é o lado. Vamos dar um exemplo. Se o lado de um losango ou quadrado for de 6 cm, encontraremos o perímetro da seguinte forma: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Um paralelogramo tem apenas lados opostos. Portanto, seu perímetro é encontrado usando um método diferente. Então, precisamos saber o comprimento a e a largura b da figura. Então aplicamos a fórmula P=(a + c) ∙ 2. Um paralelogramo, no qual todos os lados e ângulos entre eles são iguais, é chamado de losango.
Encontrando o perímetro de um triângulo equilátero e retângulo
O perímetro de um triângulo equilátero regular pode ser encontrado pela fórmula P=3a, onde a é o comprimento do lado. Se for desconhecido, pode ser encontrado através da mediana. Em um triângulo retângulo, apenas dois lados são iguais. A base pode ser encontrada através do teorema de Pitágoras. Depois que os valores dos três lados se tornam conhecidos, calculamos o perímetro. Pode ser encontrado aplicando a fórmula P \u003d a + b + c, onde a e b são lados iguais e c é a base. Lembre-se de que em um triângulo isósceles a \u003d b \u003d a, portanto, a + b \u003d 2a, depois P \u003d 2a + c. Por exemplo, o lado de um triângulo isósceles é 4 cm, encontre sua base e perímetro. Calculamos o valor da hipotenusa usando o teorema de Pitágoras c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Agora calculamos o perímetro Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Como encontrar os cantos de um polígono regular
Polígono regularocorre em nossas vidas todos os dias, por exemplo, um quadrado comum, triângulo, octógono. Parece que não há nada mais fácil do que construir essa figura você mesmo. Mas isso é apenas à primeira vista. Para construir qualquer n-gon, você precisa saber o valor de seus ângulos. Mas como encontrá-los? Até os cientistas da antiguidade tentaram construir polígonos regulares. Eles adivinharam encaixá-los em círculos. E então os pontos necessários foram marcados nele, conectados por linhas retas. Para figuras simples, o problema de construção foi resolvido. Fórmulas e teoremas foram obtidos. Por exemplo, Euclides em seu famoso trabalho "The Beginning" estava envolvido em resolver problemas para 3-, 4-, 5-, 6- e 15-gons. Ele encontrou maneiras de construí-los e encontrar ângulos. Vamos ver como fazer isso para um 15-gon. Primeiro você precisa calcular a soma de seus ângulos internos. É necessário usar a fórmula S=180⁰(n-2). Assim, recebemos um 15-gon, o que significa que o número n é 15. Substituímos os dados que conhecemos na fórmula e obtemos S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Encontramos a soma de todos os ângulos internos de um 15-gon. Agora precisamos obter o valor de cada um deles. São 15 ângulos no total, fazemos o cálculo 2340⁰: 15=156⁰. Isso significa que cada ângulo interno é 156⁰, agora usando uma régua e um compasso, você pode construir um 15-gon regular. Mas e quanto a n-gons mais complexos? Durante séculos, os cientistas lutaram para resolver esse problema. Só foi encontrado no século 18 por Carl Friedrich Gauss. Ele foi capaz de construir um 65537-gon. Desde então, o problema é considerado oficialmente resolvido.
Cálculo de ângulos de n-gonsem radianos
Claro, existem várias maneiras de encontrar os cantos dos polígonos. Na maioria das vezes eles são calculados em graus. Mas você também pode expressá-los em radianos. Como fazer isso? É necessário proceder da seguinte forma. Primeiro, descobrimos o número de lados de um polígono regular, depois subtraímos dele 2. Assim, obtemos o valor: n - 2. Multiplique a diferença encontrada pelo número n (“pi”=3, 14). Agora resta apenas dividir o produto resultante pelo número de ângulos no n-gon. Considere esses cálculos usando o exemplo do mesmo de quinze lados. Então, o número n é 15. Aplique a fórmula S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Isso, é claro, não é a única maneira de calcular o ângulo em radianos. Você pode simplesmente dividir o tamanho do ângulo em graus pelo número 57, 3. Afinal, tantos graus equivalem a um radiano.
Calcule o valor dos ângulos em graus
Além de graus e radianos, você pode tentar encontrar o valor dos ângulos de um polígono regular em grados. Isso é feito da seguinte maneira. Subtraia 2 do número total de ângulos, divida a diferença resultante pelo número de lados de um polígono regular. Multiplicamos o resultado encontrado por 200. A propósito, uma unidade de medida de ângulos como granizo praticamente não é usada.
Cálculo de ângulos externos de n-gons
Para qualquer polígono regular, exceto o interno, você também pode calcular o ângulo externo. Seu valor é encontrado da mesma forma que para outras figuras. Então, para encontrar o ângulo externo de um polígono regular, você precisaconhecer o significado do interior. Além disso, sabemos que a soma desses dois ângulos é sempre 180 graus. Portanto, fazemos os cálculos da seguinte forma: 180⁰ menos o valor do ângulo interno. Encontramos a diferença. Será igual ao valor do ângulo adjacente a ele. Por exemplo, o canto interno de um quadrado é de 90 graus, então o ângulo externo será 180⁰ - 90⁰=90⁰. Como podemos ver, não é difícil encontrá-lo. O ângulo externo pode ter um valor de +180⁰ a -180⁰, respectivamente.
