Essas formas geométricas nos cercam por toda parte. Os polígonos convexos podem ser naturais, como um favo de mel, ou artificiais (feitos pelo homem). Estas figuras são utilizadas na produção de diversos tipos de revestimentos, na pintura, na arquitetura, na decoração, etc. Os polígonos convexos têm a propriedade de que todos os seus pontos estão do mesmo lado de uma linha reta que passa por um par de vértices adjacentes dessa figura geométrica. Existem outras definições também. Um polígono é chamado de convexo se estiver localizado em um único semiplano em relação a qualquer linha reta que contenha um de seus lados.
Polígonos convexos
No curso de geometria elementar, apenas polígonos simples são sempre considerados. Para entender todas as propriedades de taisformas geométricas, é necessário compreender a sua natureza. Para começar, deve-se entender que qualquer linha é chamada de fechada, cujas extremidades coincidem. Além disso, a figura formada por ela pode ter uma variedade de configurações. Um polígono é uma linha quebrada simples fechada, na qual os links vizinhos não estão localizados na mesma linha reta. Suas ligações e vértices são, respectivamente, os lados e vértices dessa figura geométrica. Uma polilinha simples não deve ter autointerseções.
Os vértices de um polígono são chamados de adjacentes se representarem as extremidades de um de seus lados. Uma figura geométrica que tem o enésimo número de vértices e, portanto, o enésimo número de lados, é chamada de n-gon. A própria linha quebrada é chamada de borda ou contorno dessa figura geométrica. Um plano poligonal ou um polígono plano é chamado de parte final de qualquer plano delimitado por ele. Os lados adjacentes desta figura geométrica são chamados de segmentos de uma linha quebrada que emana de um vértice. Eles não serão adjacentes se vierem de vértices diferentes do polígono.
Outras definições de polígonos convexos
Na geometria elementar, existem várias outras definições equivalentes indicando qual polígono é chamado de convexo. Todas essas afirmações são igualmente verdadeiras. Um polígono é considerado convexo se:
• cada segmento que conecta quaisquer dois pontos dentro dele está inteiramente dentro dele;
• dentro deletodas as suas diagonais estão;
• qualquer ângulo interno não excede 180°.
Um polígono sempre divide um plano em 2 partes. Um deles é limitado (pode ser colocado em um círculo) e o outro é ilimitado. A primeira é chamada de região interna e a segunda é a região externa dessa figura geométrica. Este polígono é uma interseção (ou seja, um componente comum) de vários semiplanos. Além disso, cada segmento que termina em pontos que pertencem ao polígono pertence completamente a ele.
Variedades de polígonos convexos
A definição de um polígono convexo não indica que existam muitos tipos deles. E cada um deles tem certos critérios. Assim, polígonos convexos que têm um ângulo interno de 180° são chamados de convexos fracos. Uma figura geométrica convexa que tem três vértices é chamada de triângulo, quatro - um quadrilátero, cinco - um pentágono, etc. Cada um dos n-gons convexos atende ao seguinte requisito essencial: n deve ser igual ou maior que 3. os triângulos são convexos. Uma figura geométrica desse tipo, na qual todos os vértices estão localizados no mesmo círculo, é chamada inscrita em um círculo. Um polígono convexo é chamado de circunscrito se todos os seus lados próximos ao círculo o tocam. Dois polígonos são ditos iguais somente se eles podem ser sobrepostos por superposição. Um polígono plano é chamado de plano poligonal.(parte do plano), que é limitado por esta figura geométrica.
Polígonos convexos regulares
Polígonos regulares são formas geométricas com ângulos e lados iguais. Dentro deles há um ponto 0, que está à mesma distância de cada um de seus vértices. É chamado o centro desta figura geométrica. Os segmentos que ligam o centro com os vértices desta figura geométrica são chamados de apótemas, e aqueles que ligam o ponto 0 com os lados são chamados de raios.
Um quadrilátero regular é um quadrado. Um triângulo equilátero é chamado de triângulo equilátero. Para tais figuras, existe a seguinte regra: cada canto de um polígono convexo é 180°(n-2)/ n, onde n é o número de vértices dessa figura geométrica convexa.
A área de qualquer polígono regular é determinada pela fórmula:
S=ph, onde p é metade da soma de todos os lados do polígono dado eh é o comprimento do apótema.
Propriedades dos polígonos convexos
Polígonos convexos possuem certas propriedades. Portanto, um segmento que conecta quaisquer 2 pontos de tal figura geométrica está necessariamente localizado nele. Prova:
Assuma que P é um dado polígono convexo. Tomamos 2 pontos arbitrários, por exemplo, A, B, que pertencem a P. De acordo com a definição existente de um polígono convexo, esses pontos estão localizados no mesmo lado da linha, que contém qualquer lado de P. Portanto, AB também tem esta propriedade e está contido em P. Um polígono convexo sempre pode ser dividido em vários triângulos por absolutamente todas as diagonais desenhadas de um de seus vértices.
Ângulos de formas geométricas convexas
Os cantos de um polígono convexo são os cantos formados por seus lados. Os cantos internos estão localizados na região interna de uma determinada figura geométrica. O ângulo formado por seus lados que convergem em um vértice é chamado de ângulo de um polígono convexo. Ângulos adjacentes aos ângulos internos de uma dada figura geométrica são chamados externos. Cada canto de um polígono convexo localizado dentro dele é:
180° - x, onde x é o valor do ângulo externo. Esta fórmula simples funciona para qualquer forma geométrica deste tipo.
Em geral, para cantos externos existe a seguinte regra: cada ângulo de um polígono convexo é igual à diferença entre 180° e o valor do ângulo interno. Pode ter valores que variam de -180° a 180°. Portanto, quando o ângulo interno for 120°, o ângulo externo será 60°.
Soma dos ângulos de polígonos convexos
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é definida pela fórmula:
180°(n-2), onde n é o número de vértices do n-gon.
A soma dos ângulos de um polígono convexo é bastante fácil de calcular. Considere qualquer figura geométrica. Para determinar a soma dos ângulos dentro de um polígono convexo, é necessárioconectar um de seus vértices a outros vértices. Como resultado desta ação, são obtidos (n-2) triângulos. Sabemos que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é sempre 180°. Como seu número em qualquer polígono é (n-2), a soma dos ângulos internos de tal figura é 180° x (n-2).
A soma dos ângulos de um polígono convexo, ou seja, quaisquer dois ângulos internos e externos adjacentes, para uma dada figura geométrica convexa será sempre igual a 180°. Com base nisso, você pode determinar a soma de todos os seus ângulos:
180 x n.
A soma dos ângulos internos é 180°(n-2). Com base nisso, a soma de todos os cantos externos dessa figura é definida pela fórmula:
180°n-180°-(n-2)=360°.
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo sempre será 360° (independentemente do número de lados).
O ângulo externo de um polígono convexo é geralmente representado pela diferença entre 180° e o valor do ângulo interno.
Outras propriedades de um polígono convexo
Além das propriedades básicas dessas formas geométricas, elas têm outras que surgem ao manipulá-las. Assim, qualquer um dos polígonos pode ser dividido em vários n-gons convexos. Para fazer isso, é necessário continuar cada um de seus lados e cortar essa figura geométrica ao longo dessas linhas retas. Também é possível dividir qualquer polígono em várias partes convexas de forma que os vértices de cada uma das peças coincidam com todos os seus vértices. A partir de tal figura geométrica, os triângulos podem ser feitos de forma muito simples, desenhando todos osdiagonais de um vértice. Assim, qualquer polígono pode eventualmente ser dividido em um certo número de triângulos, o que acaba sendo muito útil para resolver vários problemas associados a essas formas geométricas.
Perímetro de um polígono convexo
Segmentos de uma linha quebrada, chamados lados de um polígono, são mais frequentemente denotados pelas seguintes letras: ab, bc, cd, de, ea. Estes são os lados de uma figura geométrica com vértices a, b, c, d, e. A soma dos comprimentos de todos os lados desse polígono convexo é chamada de perímetro.
Circunferência do polígono
Polígonos convexos podem ser inscritos e circunscritos. Um círculo que toca todos os lados dessa figura geométrica é chamado de inscrito nela. Tal polígono é chamado de circunscrito. O centro de um círculo inscrito em um polígono é o ponto de interseção das bissetrizes de todos os ângulos de uma dada figura geométrica. A área de tal polígono é:
S=pr, onde r é o raio do círculo inscrito ep é o semiperímetro do polígono dado.
Um círculo contendo os vértices de um polígono é chamado de circunscrito ao seu redor. Além disso, essa figura geométrica convexa é chamada de inscrita. O centro do círculo, que é circunscrito a tal polígono, é o ponto de interseção das chamadas mediatrizes de todos os lados.
Diagonais de formas geométricas convexas
As diagonais de um polígono convexo são segmentos queconectar vértices não adjacentes. Cada um deles está dentro desta figura geométrica. O número de diagonais de tal n-gon é definido pela fórmula:
N=n (n – 3)/ 2.
O número de diagonais de um polígono convexo desempenha um papel importante na geometria elementar. O número de triângulos (K) em que é possível dividir cada polígono convexo é calculado pela seguinte fórmula:
K=n – 2.
O número de diagonais de um polígono convexo sempre depende do número de seus vértices.
Decomposição de um polígono convexo
Em alguns casos, para resolver problemas geométricos, é necessário dividir um polígono convexo em vários triângulos com diagonais que não se cruzam. Este problema pode ser resolvido derivando uma fórmula específica.
Definição do problema: vamos chamar uma partição própria de um n-gon convexo em vários triângulos por diagonais que se interceptam apenas nos vértices dessa figura geométrica.
Solução: Suponha que Р1, Р2, Р3 …, Pn sejam vértices deste n-gon. O número Xn é o número de suas partições. Consideremos cuidadosamente a diagonal obtida da figura geométrica Pi Pn. Em qualquer uma das partições regulares P1 Pn pertence a um certo triângulo P1 Pi Pn, que possui 1<i<n. Partindo disso e assumindo que i=2, 3, 4 …, n-1, obtemos (n-2) grupos dessas partições, que incluem todos os casos particulares possíveis.
Seja i=2 um grupo de partições regulares, sempre contendo a diagonal Р2 Pn. O número de partições que entram é o mesmo que o número de partições(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Em outras palavras, é igual a Xn-1.
Se i=3, então este outro grupo de partições sempre conterá as diagonais Р3 Р1 e Р3 Pn. Neste caso, o número de partições regulares contidas neste grupo coincidirá com o número de partições do (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Em outras palavras, será igual a Xn-2.
Deixe i=4, então entre os triângulos uma partição regular certamente conterá um triângulo P1 P4 Pn, ao qual o quadrilátero P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn será contíguo. O número de partições regulares de tal quadrilátero é X4, e o número de partições de um (n-3)-gon é Xn-3. Com base no exposto, podemos dizer que o número total de partições corretas contidas neste grupo é Xn-3 X4. Outros grupos com i=4, 5, 6, 7… conterão Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … partições regulares.
Deixe i=n-2, então o número de divisões corretas neste grupo será o mesmo que o número de divisões no grupo onde i=2 (em outras palavras, é igual a Xn-1).
Como X1=X2=0, X3=1, X4=2…, então o número de todas as partições de um polígono convexo é:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Exemplo:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Número de partições corretas que cruzam uma diagonal interna
Ao verificar casos especiais, pode-se chegar aa suposição de que o número de diagonais de n-gons convexos é igual ao produto de todas as partições desta figura por (n-3).
Prova desta suposição: imagine que P1n=Xn(n-3), então qualquer n-gon pode ser dividido em (n-2)-triângulos. Além disso, um quadrilátero (n-3) pode ser composto deles. Junto com isso, cada quadrilátero terá uma diagonal. Como duas diagonais podem ser desenhadas nesta figura geométrica convexa, isso significa que diagonais adicionais (n-3) podem ser desenhadas em quaisquer (n-3)-quadriláteros. Com base nisso, podemos concluir que em qualquer partição regular é possível desenhar (n-3)-diagonais que atendam às condições deste problema.
Área de polígonos convexos
Muitas vezes, ao resolver vários problemas de geometria elementar, torna-se necessário determinar a área de um polígono convexo. Suponha que (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n é a sequência de coordenadas de todos os vértices vizinhos de um polígono que não possui autointerseções. Neste caso, sua área é calculada usando a seguinte fórmula:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), onde (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
