O estudo quantitativo da dinâmica e cinemática do movimento rotacional requer o conhecimento do momento de inércia de um ponto material e de um corpo rígido em relação ao eixo de rotação. Consideraremos no artigo de qual parâmetro estamos falando e também forneceremos uma fórmula para determiná-lo.
Informações gerais sobre a quantidade física
Primeiro, vamos definir o momento de inércia de um ponto material e de um corpo rígido, e depois mostrar como ele deve ser usado na resolução de problemas práticos.
Sob a característica física indicada para um ponto de massa m, que gira em torno do eixo a uma distância r, entende-se o seguinte valor:
I=mr².
Onde segue que a unidade de medida do parâmetro estudado é quilogramas por metro quadrado (kgm²).
Se, em vez de um ponto em torno de um eixo, gira um corpo de forma complexa, que tem uma distribuição arbitrária de massa dentro de si, então seu momento de inércia é determinadoentão:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Onde ρ é a densidade do corpo. Usando a fórmula integral, você pode determinar o valor de I para absolutamente qualquer sistema de rotação.
Momento de inércia tem exatamente o mesmo significado para rotação que massa tem para movimento de translação. Por exemplo, todos sabem que é mais fácil girar um esfregão de chão em torno de um eixo que passa por sua alça do que por um eixo perpendicular. Isso se deve ao fato de que o momento de inércia no primeiro caso é muito menor que no segundo.
Eu valorizo para corpos de formas diferentes
Ao resolver problemas de física para rotação, muitas vezes é necessário conhecer o momento de inércia para um corpo de uma forma geométrica específica, por exemplo, para um cilindro, bola ou haste. Se aplicarmos a fórmula escrita acima para I, é fácil obter a expressão correspondente para todos os corpos marcados. Abaixo estão as fórmulas para alguns deles:
vara: I=1/12ML²;
cilindro: I=1/2MR²;
esfera: I=2/5MR².
Aqui são dados para o eixo de rotação, que passa pelo centro de massa do corpo. No caso de um cilindro, o eixo é paralelo ao gerador da figura. O momento de inércia para outros corpos geométricos e as opções de localização dos eixos de rotação podem ser encontrados nas tabelas correspondentes. Observe que para determinar diferentes figuras, basta conhecer apenas um parâmetro geométrico e a massa do corpo.
Teorema e fórmula de Steiner
O momento de inércia pode ser determinado se o eixo de rotação estiver localizado a alguma distância do corpo. Para fazer isso, você deve saber o comprimento desse segmento e o valor IOdo corpo em relação ao eixo que passa pelo centro de sua massa, que deve ser paralelo ao que está sob consideração. Estabelecer uma conexão entre o parâmetro IO e o valor desconhecido I é fixado no teorema de Steiner. O momento de inércia de um ponto material e de um corpo rígido é matematicamente escrito da seguinte forma:
I=IO+ Mh2.
Aqui M é a massa do corpo, h é a distância do centro de massa ao eixo de rotação, em relação ao qual é necessário calcular I. Esta expressão é fácil de obter por conta própria se você use a fórmula integral para I e leve em consideração que todos os pontos do corpo estão a distâncias r=r0 + h.
Teorema de Steiner simplifica muito a definição de I para muitas situações práticas. Por exemplo, se você precisa encontrar I para uma barra de comprimento L e massa M em relação a um eixo que passa por sua extremidade, então a aplicação do teorema de Steiner permite escrever:
I=IO+ M(L/2)2=1/12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Você pode consultar a tabela correspondente e ver que ela contém exatamente esta fórmula para uma haste fina com um eixo de rotação em sua extremidade.
Equação do momento
Na física da rotação existe uma fórmula chamada equação dos momentos. Fica assim:
M=Iα.
Aqui M é o momento da força, α é a aceleração angular. Como você pode ver, o momento de inércia de um ponto material e de um corpo rígido e o momento da força estão linearmente relacionados entre si. O valor M determina a possibilidade de alguma força F criar um movimento rotacional com aceleração α no sistema. Para calcular M, use a seguinte expressão simples:
M=Fd.
Onde d é o ress alto do momento, que é igual à distância do vetor força F ao eixo de rotação. Quanto menor o braço d, menor a capacidade que a força terá de criar rotação do sistema.
A equação dos momentos em seu significado é totalmente consistente com a segunda lei de Newton. Neste caso, eu desempenha o papel da massa inercial.
Exemplo de resolução de problemas
Vamos imaginar um sistema que é um cilindro fixado em um eixo vertical com uma haste horizontal sem peso. Sabe-se que o eixo de rotação e o eixo principal do cilindro são paralelos entre si, e a distância entre eles é de 30 cm. A massa do cilindro é de 1 kg e seu raio é de 5 cm. Uma força de 10 N tangente à trajetória de rotação atua sobre a figura, cujo vetor passa pelo eixo principal do cilindro. É necessário determinar a aceleração angular da figura, que esta força causará.
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia do cilindro I. Para isso, aplicando o teorema de Steiner, temos:
I=IO+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Antes de usar a equação do momento, você precisadetermine o momento da força M. Neste caso, temos:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Agora você pode determinar a aceleração:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
A aceleração angular calculada indica que a cada segundo a velocidade do cilindro aumentará 5,2 rotações por segundo.
