Funções trigonométricas inversas tradicionalmente causam dificuldades para crianças em idade escolar. A capacidade de calcular o arco tangente de um número pode ser necessária em tarefas de USE em planimetria e estereometria. Para resolver com sucesso uma equação e um problema com um parâmetro, você deve entender as propriedades da função arco tangente.
Definição
O arco tangente de um número x é um número y cuja tangente é x. Esta é a definição matemática.
A função arco tangente é escrita como y=arctg x.
Mais geralmente: y=Carctg (kx + a).
Cálculo
Para entender como funciona a função trigonométrica inversa do arco tangente, primeiro você precisa lembrar como o valor da tangente de um número é determinado. Vamos dar uma olhada mais de perto.
A tangente de x é a razão entre o seno de x e o cosseno de x. Se pelo menos uma dessas duas quantidades for conhecida, então o módulo da segunda pode ser obtido a partir da identidade trigonométrica básica:
sin2 x + cos2 x=1.
Reconhecidamente, uma avaliação será necessária para desbloquear o módulo.
Seo número em si é conhecido, e não suas características trigonométricas, então na maioria dos casos é necessário estimar aproximadamente a tangente do número consultando a tabela de Bradis.
Exceções são os chamados valores padrão.
Eles são apresentados na tabela a seguir:
Além do acima, qualquer valor obtido dos dados pela adição de um número na forma ½πк (к - qualquer inteiro, π=3, 14) pode ser considerado padrão.
Exatamente o mesmo é verdade para a tangente do arco: na maioria das vezes o valor aproximado pode ser visto na tabela, mas apenas alguns valores são conhecidos com certeza:
Na prática, ao resolver problemas de matemática escolar, costuma-se dar uma resposta na forma de uma expressão contendo o arco tangente, e não sua estimativa aproximada. Por exemplo, arctg 6, arctg (-¼).
Traçar um gráfico
Como a tangente pode assumir qualquer valor, o domínio da função arcotangente é a reta numérica inteira. Vamos explicar com mais detalhes.
A mesma tangente corresponde a um número infinito de argumentos. Por exemplo, não apenas a tangente de zero é igual a zero, mas também a tangente de qualquer número da forma π k, onde k é um inteiro. Portanto, os matemáticos concordaram em escolher valores para o arco tangente do intervalo de -½ π a ½ π. Deve ser entendido desta forma. O alcance da função arco-tangente é o intervalo (-½ π; ½ π). As extremidades do intervalo não são incluídas, pois a tangente -½p e ½p não existem.
No intervalo especificado, a tangente é continuamenteaumenta. Isso significa que a função inversa da tangente do arco também está aumentando continuamente em toda a reta numérica, mas limitada por cima e por baixo. Como resultado, tem duas assíntotas horizontais: y=-½ π e y=½ π.
Neste caso, tg 0=0, outros pontos de interseção com o eixo das abcissas, exceto (0;0), o gráfico não pode ter devido a aumento.
Como segue da paridade da função tangente, o arco tangente tem uma propriedade semelhante.
Para construir um gráfico, pegue vários pontos entre os valores padrão:
A derivada da função y=arctg x em qualquer ponto é calculada pela fórmula:
Observe que sua derivada é sempre positiva. Isso é consistente com a conclusão feita anteriormente sobre o aumento contínuo da função.
A segunda derivada do arco tangente se anula no ponto 0, é negativa para valores positivos do argumento e vice-versa.
Isso significa que o gráfico da função arco tangente tem um ponto de inflexão em zero e é convexo para baixo no intervalo (-∞; 0] e convexo para cima no intervalo [0; +∞).
