Um sistema mecânico que consiste em um ponto material (corpo) pendurado em um fio inextensível sem peso (sua massa é desprezível em relação ao peso do corpo) em um campo gravitacional uniforme é chamado de pêndulo matemático (outro nome é um oscilador). Existem outros tipos deste dispositivo. Em vez de um fio, uma haste sem peso pode ser usada. Um pêndulo matemático pode revelar claramente a essência de muitos fenômenos interessantes. Com uma pequena amplitude de oscilação, seu movimento é chamado de harmônico.
Visão geral do sistema mecânico
A fórmula para o período de oscilação deste pêndulo foi derivada pelo cientista holandês Huygens (1629-1695). Este contemporâneo de I. Newton gostava muito deste sistema mecânico. Em 1656 ele criou o primeiro relógio de pêndulo. Eles mediram o tempo com excepcionalpara aqueles tempos de precisão. Esta invenção tornou-se um marco importante no desenvolvimento de experimentos físicos e atividades práticas.
Se o pêndulo estiver em equilíbrio (pendurado verticalmente), a força da gravidade será equilibrada pela força da tensão do fio. Um pêndulo plano em um fio inextensível é um sistema com dois graus de liberdade com uma conexão. Quando você altera apenas um componente, as características de todas as suas partes mudam. Portanto, se a rosca for substituída por uma haste, esse sistema mecânico terá apenas 1 grau de liberdade. Quais são as propriedades de um pêndulo matemático? Neste sistema mais simples, o caos surge sob a influência de uma perturbação periódica. No caso em que o ponto de suspensão não se move, mas oscila, o pêndulo tem uma nova posição de equilíbrio. Com oscilações rápidas para cima e para baixo, este sistema mecânico adquire uma posição invertida estável. Ela também tem seu próprio nome. É chamado de pêndulo de Kapitza.
Propriedades do pêndulo
Pêndulo matemático tem propriedades muito interessantes. Todos eles são confirmados por leis físicas conhecidas. O período de oscilação de qualquer outro pêndulo depende de várias circunstâncias, como o tamanho e a forma do corpo, a distância entre o ponto de suspensão e o centro de gravidade, a distribuição de massa em relação a esse ponto. É por isso que determinar o período de um corpo pendurado é uma tarefa bastante difícil. É muito mais fácil calcular o período de um pêndulo matemático, cuja fórmula será dada abaixo. Como resultado de observações semelhantessistemas mecânicos podem estabelecer os seguintes padrões:
• Se, mantendo o mesmo comprimento do pêndulo, pendurarmos pesos diferentes, então o período de suas oscilações será o mesmo, embora suas massas variem muito. Portanto, o período de tal pêndulo não depende da massa da carga.
• Ao iniciar o sistema, se o pêndulo for desviado por ângulos não muito grandes, mas diferentes, ele começará a oscilar com o mesmo período, mas com amplitudes diferentes. Desde que os desvios do centro de equilíbrio não sejam muito grandes, as oscilações em sua forma serão bem próximas das harmônicas. O período de tal pêndulo não depende de forma alguma da amplitude de oscilação. Esta propriedade deste sistema mecânico é chamada de isocronismo (traduzido do grego "chronos" - tempo, "isos" - igual).
Período do pêndulo matemático
Este indicador representa o período de oscilações naturais. Apesar da formulação complexa, o processo em si é muito simples. Se o comprimento do fio de um pêndulo matemático é L e a aceleração da queda livre é g, então este valor é:
T=2π√L/g
O período de pequenas oscilações naturais não depende de forma alguma da massa do pêndulo e da amplitude das oscilações. Neste caso, o pêndulo se move como um pêndulo matemático com comprimento reduzido.
Oscilações do pêndulo matemático
Um pêndulo matemático oscila, o que pode ser descrito por uma simples equação diferencial:
x + ω2 sen x=0, onde x (t) é uma função desconhecida (este é o ângulo de desvio da parte inferiorposição de equilíbrio no tempo t, expressa em radianos); ω é uma constante positiva, que é determinada a partir dos parâmetros do pêndulo (ω=√g/L, onde g é a aceleração de queda livre e L é o comprimento do pêndulo matemático (suspensão).
A equação das pequenas flutuações perto da posição de equilíbrio (equação harmônica) fica assim:
x + ω2 sen x=0
Movimentos oscilatórios do pêndulo
Um pêndulo matemático que faz pequenas oscilações se move ao longo de uma senóide. A equação diferencial de segunda ordem atende a todos os requisitos e parâmetros de tal movimento. Para determinar a trajetória, você deve especificar a velocidade e a coordenada, a partir das quais as constantes independentes são determinadas:
x=Um sen (θ0 + ωt), onde θ0 é a fase inicial, A é a amplitude de oscilação, ω é a frequência cíclica determinada a partir da equação do movimento.
Pêndulo matemático (fórmulas para grandes amplitudes)
Esse sistema mecânico, que faz suas oscilações com amplitude significativa, obedece a leis de movimento mais complexas. Para tal pêndulo, eles são calculados pela fórmula:
sen x/2=usn(ωt/u), onde sn é o seno de Jacobi, que para u < 1 é uma função periódica, e para u pequeno coincide com um seno trigonométrico simples. O valor de u é determinado pela seguinte expressão:
u=(ε + ω2)/2ω2, onde ε=E/mL2 (mL2 é a energia do pêndulo).
Determinando o período de oscilação de um pêndulo não linearrealizado de acordo com a fórmula:
T=2π/Ω, onde Ω=π/2ω/2K(u), K é a integral elíptica, π - 3, 14.
Movimento do pêndulo ao longo da separatriz
Uma separatriz é uma trajetória de um sistema dinâmico com um espaço de fase bidimensional. O pêndulo matemático se move ao longo dele não periodicamente. Em um momento de tempo infinitamente distante, ele cai da posição extrema superior para o lado com velocidade zero, então gradualmente o levanta. Ele eventualmente para, retornando à sua posição original.
Se a amplitude das oscilações do pêndulo se aproximar do número π, isso indica que o movimento no plano de fase está se aproximando da separatriz. Neste caso, sob a ação de uma pequena força motriz periódica, o sistema mecânico apresenta comportamento caótico.
Quando o pêndulo matemático se desvia da posição de equilíbrio com um certo ângulo φ, surge uma força de gravidade tangencial Fτ=–mg sen φ. O sinal de menos significa que esta componente tangencial é direcionada na direção oposta da deflexão do pêndulo. Quando o deslocamento do pêndulo ao longo do arco de um círculo de raio L é denotado por x, seu deslocamento angular é igual a φ=x/L. A segunda lei de Isaac Newton, projetada para projeções do vetor aceleração e força, dará o valor desejado:
mg τ=Fτ=–mg sen x/L
Com base nessa razão, fica claro que esse pêndulo é um sistema não linear, pois a força que busca retornarpara a posição de equilíbrio, é sempre proporcional não ao deslocamento x, mas ao sen x/L.
Somente quando o pêndulo matemático faz pequenas oscilações, é um oscilador harmônico. Em outras palavras, torna-se um sistema mecânico capaz de realizar vibrações harmônicas. Esta aproximação é praticamente válida para ângulos de 15 a 20°. As oscilações do pêndulo com grandes amplitudes não são harmônicas.
Lei de Newton para pequenas oscilações de um pêndulo
Se este sistema mecânico realizar pequenas vibrações, a 2ª lei de Newton ficará assim:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Com base nisso, podemos concluir que a aceleração tangencial do pêndulo matemático é proporcional ao seu deslocamento com sinal negativo. Esta é a condição pela qual o sistema se torna um oscilador harmônico. O módulo do ganho proporcional entre deslocamento e aceleração é igual ao quadrado da frequência circular:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Esta fórmula reflete a frequência natural de pequenas oscilações deste tipo de pêndulo. Com base nisso, T=2π/ω0=2π√ g/L.
Cálculos baseados na lei da conservação da energia
As propriedades dos movimentos oscilatórios do pêndulo também podem ser descritas usando a lei da conservação da energia. Neste caso, deve-se levar em conta que a energia potencial do pêndulo no campo gravitacional é:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Energia mecânica totalé igual ao potencial cinético ou máximo: Epmax=Ekmsx=E
Depois que a lei da conservação da energia for escrita, tire a derivada dos lados direito e esquerdo da equação:
Ep + Ek=const
Como a derivada de valores constantes é 0, então (Ep + Ek)'=0. A derivada da soma é igual à soma das derivadas:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mvα, portanto:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + mα)=0.
Com base na última fórmula, encontramos: α=- g/Lx.
Aplicação prática do pêndulo matemático
A aceleração da queda livre varia com a latitude geográfica, pois a densidade da crosta terrestre em todo o planeta não é a mesma. Onde ocorrem rochas com densidade mais alta, ela será um pouco mais alta. A aceleração de um pêndulo matemático é frequentemente usada para exploração geológica. É usado para procurar vários minerais. Simplesmente contando o número de oscilações do pêndulo, você pode encontrar carvão ou minério nas entranhas da Terra. Isso se deve ao fato de que tais fósseis têm densidade e massa maiores do que as rochas soltas subjacentes a eles.
O pêndulo matemático foi usado por cientistas proeminentes como Sócrates, Aristóteles, Platão, Plutarco, Arquimedes. Muitos deles acreditavam que esse sistema mecânico poderia influenciar o destino e a vida de uma pessoa. Arquimedes usou um pêndulo matemático em seus cálculos. Hoje em dia, muitos ocultistas e médiunsuse este sistema mecânico para cumprir suas profecias ou procurar pessoas desaparecidas.
O famoso astrônomo e naturalista francês K. Flammarion também usou um pêndulo matemático para sua pesquisa. Ele afirmou que com sua ajuda ele foi capaz de prever a descoberta de um novo planeta, o aparecimento do meteorito Tunguska e outros eventos importantes. Durante a Segunda Guerra Mundial na Alemanha (Berlim) funcionou um Instituto Pêndulo especializado. Hoje, o Instituto de Parapsicologia de Munique está envolvido em pesquisas semelhantes. Os funcionários desta instituição chamam seu trabalho com o pêndulo de “radiestesia”.
