Vetor é um objeto geométrico importante, com a ajuda de suas propriedades é conveniente resolver muitos problemas no plano e no espaço. Neste artigo, vamos defini-lo, considerar suas principais características e também mostrar como um vetor no espaço pode ser usado para definir planos.
O que é um vetor: caso bidimensional
Primeiro de tudo, é necessário entender claramente de que objeto estamos falando. Em geometria, um segmento direcionado é chamado de vetor. Como qualquer segmento, é caracterizado por dois elementos principais: os pontos inicial e final. As coordenadas desses pontos determinam exclusivamente todas as características do vetor.
Vamos considerar um exemplo de um vetor em um plano. Para fazer isso, desenhamos dois eixos perpendiculares entre si x e y. Vamos marcar um ponto arbitrário P(x, y). Se conectarmos esse ponto à origem (ponto O) e especificarmos a direção para P, obteremos o vetor OP¯ (mais adiante no artigo, a barra sobre o símbolo indica que estamos considerando um vetor). O desenho vetorial no plano é mostrado abaixo.
Aqui, outro vetor AB¯ também é mostrado, e você pode ver que suas características são exatamente as mesmas de OP¯, mas está em uma parte diferente do sistema de coordenadas. Pela tradução paralela OP¯, você pode obter um número infinito de vetores com as mesmas propriedades.
Vetor no espaço
Todos os objetos reais que nos cercam estão no espaço tridimensional. O estudo das propriedades geométricas de figuras tridimensionais trata da estereometria, que opera com o conceito de vetores tridimensionais. Eles diferem dos bidimensionais apenas porque sua descrição requer uma coordenada adicional, que é medida ao longo do terceiro eixo x e y perpendicular z.
A figura abaixo mostra um vetor no espaço. As coordenadas de sua extremidade ao longo de cada eixo são indicadas por segmentos coloridos. O início do vetor está localizado no ponto de interseção dos três eixos coordenados, ou seja, possui coordenadas (0; 0; 0).
Como um vetor em um plano é um caso especial de um segmento direcionado espacialmente, consideraremos apenas um vetor tridimensional no artigo.
Coordenadas vetoriais baseadas em coordenadas conhecidas de seu início e fim
Suponha que existam dois pontos P(x1; y1; z1) e Q(x2; y2; z2). Como determinar as coordenadas do vetor PQ¯. Primeiro, é necessário concordar qual dos pontos será o início e qual será o fim do vetor. Em matemática, costuma-se escrever o objeto em questão ao longo de sua direção, ou seja, P é o começo, Q- o fim. Em segundo lugar, as coordenadas do vetor PQ¯ são calculadas como a diferença entre as coordenadas correspondentes do fim e do início, ou seja:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Observe que ao mudar a direção do vetor, suas coordenadas mudarão de sinal, como segue:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Isso significa PQ¯=-QP¯.
É importante entender mais uma coisa. Foi dito acima que no plano há um número infinito de vetores iguais ao dado. Este fato também é válido para o caso espacial. De fato, quando calculamos as coordenadas de PQ¯ no exemplo acima, realizamos a operação de translação paralela desse vetor de forma que sua origem coincidisse com a origem. O vector PQ¯ pode ser desenhado como um segmento direccionado desde a origem até ao ponto M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Propriedades do Vetor
Como qualquer objeto geométrico, um vetor possui algumas características inerentes que podem ser usadas para resolver problemas. Vamos listá-los brevemente.
Módulo vetorial é o comprimento do segmento direcionado. Conhecendo as coordenadas, é fácil calculá-lo. Para o vetor PQ¯ no exemplo acima, o módulo é:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Módulo vetorial ativadoplano é calculado por uma fórmula semelhante, só que sem a participação da terceira coordenada.
A soma e a diferença de vetores é realizada de acordo com a regra do triângulo. A figura abaixo mostra como adicionar e subtrair esses objetos.
Para obter o vetor soma, adicione o início do segundo ao final do primeiro vetor. O vetor desejado começará no início do primeiro e terminará no final do segundo vetor.
A diferença é realizada levando em consideração o fato de que o vetor subtraído é substituído pelo oposto, e então é realizada a operação de adição descrita acima.
Além da adição e subtração, é importante poder multiplicar um vetor por um número. Se o número for igual a k, então é obtido um vetor cujo módulo é k vezes diferente do original, e a direção é a mesma (k>0) ou oposta ao original (k<0).
A operação de multiplicação de vetores entre si também está definida. Vamos destacar um parágrafo separado para ele no artigo.
Multiplicação escalar e vetorial
Suponha que existam dois vetores u¯(x1; y1; z1) e v¯(x2; y2; z2). Vetor por vetor pode ser multiplicado de duas maneiras diferentes:
- Escalar. Neste caso, o resultado é um número.
- Vetor. O resultado é um novo vetor.
O produto escalar dos vetores u¯ e v¯ é calculado da seguinte forma:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Onde α é o ângulo entre os vetores dados.
Pode-se mostrar que conhecendo as coordenadas u¯ e v¯, seu produto escalar pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
O produto escalar é conveniente para usar ao decompor um vetor em dois segmentos direcionados perpendicularmente. Também é usado para calcular o paralelismo ou ortogonalidade de vetores e para calcular o ângulo entre eles.
O produto vetorial de u¯ e v¯ dá um novo vetor que é perpendicular aos originais e tem módulo:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
A direção para baixo ou para cima do novo vetor é determinada pela regra da mão direita (quatro dedos da mão direita são direcionados do final do primeiro vetor para o final do segundo, e o polegar apontando para cima indica a direção do novo vetor). A figura abaixo mostra o resultado do produto vetorial para a¯ e b¯ arbitrário.
O produto vetorial é usado para calcular as áreas das figuras, bem como para determinar as coordenadas de um vetor perpendicular a um determinado plano.
Vetores e suas propriedades são convenientes para usar ao definir a equação de um plano.
Equação normal e geral do plano
Existem várias maneiras de definir um plano. Uma delas é a derivação da equação geral do plano, que decorre diretamente do conhecimento do vetor perpendicular a ele e de algum ponto conhecido que pertence ao plano.
Assuma que existe um vetor n¯ (A; B; C) e um ponto P (x0; y0; z 0). Que condição satisfará todos os pontos Q(x; y; z) do plano? Esta condição consiste na perpendicularidade de qualquer vetor PQ¯ à normal n¯. Para dois vetores perpendiculares, o produto escalar se torna zero (cos(90o)=0), escreva isto:
(n¯PQ¯)=0 ou
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Abrindo os colchetes, temos:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 ou
Ax + By + Cz +D=0 onde D=-Ax0-By0-Cz0.
Esta equação é chamada de geral para o plano. Vemos que os coeficientes na frente de x, yez são as coordenadas do vetor perpendicular n¯. É chamado de guia de avião.
Equação paramétrica vetorial do plano
A segunda maneira de definir um plano é usar dois vetores situados nele.
Assuma que existem vetores u¯(x1; y1; z1) e v¯(x2; y2; z2). Como foi dito, cada um deles no espaço pode ser representado por um número infinito de segmentos direcionados idênticos, portanto, é necessário mais um ponto para determinar o plano de forma única. Seja este ponto P(x0;y0; z0). Qualquer ponto Q(x; y; z) estará no plano desejado se o vetor PQ¯ puder ser representado como uma combinação de u¯ e v¯. Ou seja, temos:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Onde α e β são alguns números reais. Desta igualdade segue a expressão:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Chama-se uma equação vetorial paramétrica do plano em relação a 2 vetores u¯ e v¯. Substituindo os parâmetros arbitrários α e β, pode-se encontrar todos os pontos (x; y; z) pertencentes a este plano.
A partir desta equação é fácil obter a expressão geral para o plano. Para isso, basta encontrar o vetor de direção n¯, que será perpendicular aos dois vetores u¯ e v¯, ou seja, seu produto vetorial deve ser aplicado.
O problema de determinar a equação geral do plano
Vamos mostrar como usar as fórmulas acima para resolver problemas geométricos. Suponha que o vetor de direção do plano seja n¯(5; -3; 1). Você deve encontrar a equação do plano, sabendo que o ponto P(2; 0; 0) pertence a ela.
A equação geral é escrita como:
Ax + By + Cz +D=0.
Como o vetor perpendicular ao plano é conhecido, a equação terá a forma:
5x - 3y + z +D=0.
Resta encontrar o termo livre D. Calculamos a partir do conhecimento das coordenadas P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Assim, a equação desejada do plano tem a forma:
5x - 3y + z -10=0.
A figura abaixo mostra a aparência do plano resultante.
As coordenadas indicadas dos pontos correspondem às interseções do plano com os eixos x, yez.
O problema de determinar o plano através de dois vetores e um ponto
Agora suponha que o plano anterior seja definido de forma diferente. Dois vetores u¯(-2; 0; 10) e v¯(-2; -10/3; 0) são conhecidos, assim como o ponto P(2; 0; 0). Como escrever a equação do plano na forma paramétrica vetorial? Usando a fórmula correspondente considerada, obtemos:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Observe que nas definições desta equação do plano, os vetores u¯ e v¯ podem ser tomados absolutamente qualquer, mas com uma condição: eles não devem ser paralelos. Caso contrário, o plano não pode ser determinado de forma única, no entanto, pode-se encontrar uma equação para uma viga ou um conjunto de planos.
