Função e o estudo de suas características é um dos capítulos-chave da matemática moderna. O principal componente de qualquer função são gráficos que descrevem não apenas suas propriedades, mas também os parâmetros da derivada dessa função. Vamos dar uma olhada neste tópico complicado. Então, qual é a melhor maneira de encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função?
Função: Definição
Qualquer variável que dependa de alguma forma dos valores de outro valor pode ser chamada de função. Por exemplo, a função f(x2) é quadrática e determina os valores para todo o conjunto x. Digamos que x=9, então o valor da nossa função será igual a 92=81.
Funções vêm em muitos tipos diferentes: lógicas, vetoriais, logarítmicas, trigonométricas, numéricas e outras. Mentes notáveis como Lacroix, Lagrange, Leibniz e Bernoulli estavam engajadas em seu estudo. Seus escritos servem como baluarte nas formas modernas de estudar funções. Antes de encontrar os pontos mínimos, é muito importante entender o significado da função e sua derivada.
A derivada e seu papel
Todas as funções estão emdependendo de seus valores variáveis, o que significa que eles podem alterar seu valor a qualquer momento. No gráfico, isso será representado como uma curva que desce ou sobe ao longo do eixo y (este é todo o conjunto de números "y" ao longo da vertical do gráfico). E assim a definição de um ponto de um máximo e um mínimo da função só se une com estas "oscilações". Vamos explicar o que é essa relação.
A derivada de qualquer função é desenhada em um gráfico para estudar suas principais características e calcular a rapidez com que a função muda (ou seja, muda seu valor dependendo da variável "x"). No momento em que a função aumenta, o gráfico de sua derivada também aumenta, mas a qualquer segundo a função pode começar a diminuir, e então o gráfico da derivada diminuirá. Aqueles pontos em que a derivada vai de menos para mais são chamados de pontos mínimos. Para saber como encontrar os pontos mínimos, você deve entender melhor o conceito de derivada.
Como calcular a derivada?
Definir e calcular a derivada de uma função implica vários conceitos de cálculo diferencial. Em geral, a própria definição da derivada pode ser expressa da seguinte forma: este é o valor que mostra a taxa de variação da função.
A maneira matemática de determinar isso para muitos alunos parece complicada, mas na verdade tudo é muito mais simples. Você só precisa seguirplano padrão para encontrar a derivada de qualquer função. O seguinte descreve como você pode encontrar o ponto mínimo de uma função sem aplicar as regras de diferenciação e sem memorizar a tabela de derivadas.
- Você pode calcular a derivada de uma função usando um gráfico. Para fazer isso, você precisa representar a função em si, então pegue um ponto nela (ponto A na Fig.) Desenhe uma linha verticalmente para baixo até o eixo das abcissas (ponto x0), e no ponto A desenhe uma tangente ao gráfico da função. O eixo das abcissas e a tangente formam um ângulo a. Para calcular o valor de quão rápido a função aumenta, você precisa calcular a tangente desse ângulo a.
- Acontece que a tangente do ângulo entre a tangente e a direção do eixo x é a derivada da função em uma pequena área com ponto A. Este método é considerado uma forma geométrica de determinar a derivada.
Métodos de pesquisa de uma função
No currículo escolar de matemática, é possível encontrar o ponto de mínimo de uma função de duas maneiras. Já analisamos o primeiro método usando o gráfico, mas como determinar o valor numérico da derivada? Para fazer isso, você precisará aprender várias fórmulas que descrevem as propriedades da derivada e ajudam a converter variáveis como "x" em números. O método a seguir é universal, portanto pode ser aplicado a quase todos os tipos de funções (tanto geométricas quanto logarítmicas).
- É necessário igualar a função à função derivada, e então simplificar a expressão usando as regrasdiferenciação.
- dividir por zero).
- Depois disso, você deve converter a forma original da função em uma equação simples, igualando a expressão inteira a zero. Por exemplo, se a função ficou assim: f(x)=2x3+38x, então, de acordo com as regras de diferenciação, sua derivada é igual a f'(x)=3x 2 +1. Em seguida, transformamos essa expressão em uma equação da seguinte forma: 3x2+1=0.
- Depois de resolver a equação e encontrar os pontos "x", você deve desenhá-los no eixo x e determinar se a derivada nessas áreas entre os pontos marcados é positiva ou negativa. Após a designação, ficará claro em que ponto a função começa a diminuir, ou seja, muda o sinal de menos para o oposto. É assim que você pode encontrar os pontos mínimo e máximo.
Regras de diferenciação
A parte mais básica de aprender uma função e sua derivada é conhecer as regras de diferenciação. Somente com a ajuda deles é possível transformar expressões complicadas e grandes funções complexas. Vamos conhecê-los, existem muitos deles, mas todos são muito simples devido às propriedades regulares das funções de potência e logarítmicas.
- A derivada de qualquer constante é zero (f(x)=0). Ou seja, a derivada f(x)=x5+ x - 160 terá a seguinte forma: f' (x)=5x4+1.
- A derivada da soma de dois termos: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivada de uma função logarítmica: (logad)'=d/ln ad. Esta fórmula se aplica a todos os tipos de logaritmos.
- Derivada do grau: (x)'=nxn-1. Por exemplo, (9x2)'=92x=18x.
- Derivada de uma função senoidal: (sen a)'=cos a. Se o sen do ângulo a é 0,5, então sua derivada é √3/2.
Pontos extremos
Já descobrimos como encontrar os pontos mínimos, porém, existe o conceito de pontos máximos de uma função. Se o mínimo denota aqueles pontos em que a função vai de menos para mais, então os pontos máximos são aqueles pontos no eixo x em que a derivada da função muda de mais para o oposto - menos.
Você pode encontrar os pontos máximos usando o método descrito acima, apenas deve-se levar em consideração que eles denotam aquelas áreas onde a função começa a diminuir, ou seja, a derivada será menor que zero.
Em matemática, costuma-se generalizar ambos os conceitos, substituindo-os pela frase "pontos extremos". Quando a tarefa pede para determinar esses pontos, isso significa que é necessário calcular a derivada desta função e encontrar os pontos de mínimo e máximo.
