Muitas vezes na ciência matemática há uma série de dificuldades e perguntas, e muitas das respostas nem sempre são claras. Nenhuma exceção foi um tópico como a cardinalidade dos conjuntos. Na verdade, isso nada mais é do que uma expressão numérica do número de objetos. Em um sentido geral, um conjunto é um axioma; não tem definição. Baseia-se em quaisquer objetos, ou melhor, em seu conjunto, que pode ser vazio, finito ou infinito. Além disso, contém números inteiros ou naturais, matrizes, sequências, segmentos e linhas.
Sobre as variáveis existentes
Um conjunto nulo ou vazio sem valor intrínseco é considerado um elemento cardinal porque é um subconjunto. A coleção de todos os subconjuntos de um conjunto não vazio S é um conjunto de conjuntos. Assim, o conjunto de potências de um determinado conjunto é considerado como sendo muitos, concebíveis, mas únicos. Este conjunto é chamado de conjunto de potências de S e é denotado por P (S). Se S contém N elementos, então P(S) contém 2^n subconjuntos, já que um subconjunto de P(S) é ∅ ou um subconjunto contendo r elementos de S, r=1, 2, 3, … Composto de tudo infinitoo conjunto M é chamado de grandeza de potência e é simbolicamente denotado por P (M).
Elementos da teoria dos conjuntos
Este campo do conhecimento foi desenvolvido por George Cantor (1845-1918). Hoje é usado em quase todos os ramos da matemática e serve como sua parte fundamental. Na teoria dos conjuntos, os elementos são representados na forma de uma lista e são dados por tipos (conjunto vazio, singleton, conjuntos finito e infinito, igual e equivalente, universal), união, interseção, diferença e adição de números. Na vida cotidiana, muitas vezes falamos sobre uma coleção de objetos, como um molho de chaves, um bando de pássaros, um baralho de cartas, etc. No 5º ano de matemática e além, existem números naturais, inteiros, primos e compostos.
Os seguintes conjuntos podem ser considerados:
- números naturais;
- letras do alfabeto;
- probabilidades primárias;
- triângulos com lados diferentes.
Pode-se ver que esses exemplos especificados são conjuntos de objetos bem definidos. Considere mais alguns exemplos:
- cinco cientistas mais famosos do mundo;
- sete garotas bonitas na sociedade;
- três melhores cirurgiões.
Esses exemplos de cardinalidade não são coleções bem definidas de objetos, pois os critérios para "mais famoso", "mais bonito", "melhor" variam de pessoa para pessoa.
Conjuntos
Este valor é um número bem definido de objetos diferentes. Supondo que:
- wordset é um sinônimo, agregado, classe e contém elementos;
- objetos, membros são termos iguais;
- conjuntos geralmente são denotados por letras maiúsculas A, B, C;
- set elementos são representados por letras minúsculas a, b, c.
Se "a" é um elemento do conjunto A, então diz-se que "a" pertence a A. Vamos denotar a frase "pertence" com o caractere grego "∈" (épsilon). Assim, verifica-se que a ∈ A. Se 'b' é um elemento que não pertence a A, este é representado como b ∉ A. Alguns conjuntos importantes usados na matemática do 5º ano são representados usando os três métodos seguintes:
- aplicativos;
- registros ou tabular;
- regra para criar uma formação.
Em uma análise mais detalhada, o formulário de inscrição é baseado no seguinte. Neste caso, é dada uma descrição clara dos elementos do conjunto. Eles estão todos entre chaves. Por exemplo:
- conjunto de números ímpares menores que 7 - escrito como {menor que 7};
- um conjunto de números maior que 30 e menor que 55;
- número de alunos em uma turma que pesa mais que o professor.
No formulário de registro (tabela), os elementos de um conjunto são listados dentro de um par de colchetes {} e separados por vírgulas. Por exemplo:
- Seja N o conjunto dos cinco primeiros números naturais. Portanto, N=→ forma de registro
- Conjunto de todas as vogais do alfabeto inglês. Portanto V={a, e, i, o, u, y} → forma de registro
- O conjunto de todos os números ímpares é menor que 9. Portanto, X={1, 3, 5, 7} → formregistro
- Conjunto de todas as letras da palavra "Matemática". Portanto, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Formulário de Registro
- W é o conjunto dos últimos quatro meses do ano. Portanto, W={setembro, outubro, novembro, dezembro} → registro.
Observe que a ordem em que os elementos são listados não importa, mas eles não devem ser repetidos. Uma forma de construção estabelecida, em um determinado caso, uma regra, fórmula ou operador é escrita em um par de colchetes para que o conjunto seja definido corretamente. No formulário do construtor de conjuntos, todos os elementos devem ter a mesma propriedade para se tornarem membros do valor em questão.
Nesta forma de representação de conjunto, um elemento do conjunto é descrito com o caractere "x" ou qualquer outra variável seguida por dois pontos (":" ou "|" é usado para indicar). Por exemplo, seja P o conjunto de números contáveis maiores que 12. P na forma de construtor de conjuntos é escrito como - {número contável e maior que 12}. Ele vai ler de uma certa maneira. Ou seja, "P é um conjunto de x elementos tal que x é contável e maior que 12."
Resolvido exemplo usando três métodos de representação de conjuntos: número de inteiros entre -2 e 3. Abaixo estão exemplos de diferentes tipos de conjuntos:
- Um conjunto vazio ou nulo que não contém nenhum elemento e é denotado pelo símbolo ∅ e é lido como phi. Na forma de lista, ∅ é escrito {}. O conjunto finito é vazio, pois o número de elementos é 0. Por exemplo, o conjunto de valores inteiros é menor que 0.
- Obviamente não deveria haver <0. Portanto, esteconjunto vazio.
- Um conjunto contendo apenas uma variável é chamado de conjunto singleton. Não é simples nem composto.
Conjunto finito
Um conjunto que contém um certo número de elementos é chamado de conjunto finito ou infinito. Vazio refere-se ao primeiro. Por exemplo, um conjunto de todas as cores do arco-íris.
Infinito é um conjunto. Os elementos nele não podem ser enumerados. Ou seja, contendo variáveis semelhantes é chamado de conjunto infinito. Exemplos:
- potência do conjunto de todos os pontos do plano;
- conjunto de todos os números primos.
Mas você deve entender que todas as cardinalidades da união de um conjunto não podem ser expressas na forma de uma lista. Por exemplo, números reais, pois seus elementos não correspondem a nenhum padrão específico.
O número cardinal de um conjunto é o número de elementos diferentes em uma dada quantidade A. É denotado n (A).
Por exemplo:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Portanto, n (A)=4.
- B=conjunto de letras na palavra ÁLGEBRA.
Conjuntos equivalentes para comparação de conjuntos
Duas cardinalidades de um conjunto A e B são tais se seu número cardinal for o mesmo. O símbolo para o conjunto equivalente é "↔". Por exemplo: A ↔ B.
Conjuntos iguais: duas cardinalidades dos conjuntos A e B se contiverem os mesmos elementos. Cada coeficiente de A é uma variável de B, e cada um de B é o valor especificado de A. Portanto, A=B. Os diferentes tipos de uniões de cardinalidade e suas definições são explicados usando os exemplos fornecidos.
Essência de finitude e infinito
Quais são as diferenças entre a cardinalidade de um conjunto finito e um conjunto infinito?
O primeiro valor tem o seguinte nome se estiver vazio ou tiver um número finito de elementos. Em um conjunto finito, uma variável pode ser especificada se tiver uma contagem limitada. Por exemplo, usando o número natural 1, 2, 3. E o processo de listagem termina em algum N. O número de diferentes elementos contados no conjunto finito S é denotado por n (S). Também é chamado de ordem ou cardeal. Simbolicamente denotado de acordo com o princípio padrão. Assim, se o conjunto S é o alfabeto russo, ele contém 33 elementos. Também é importante lembrar que um elemento não ocorre mais de uma vez em um conjunto.
Infinito no conjunto
Um conjunto é chamado infinito se os elementos não podem ser enumerados. Se tiver um número natural ilimitado (isto é, incontável) 1, 2, 3, 4 para qualquer n. Um conjunto que não é finito é chamado de infinito. Agora podemos discutir exemplos dos valores numéricos em consideração. Opções de valor final:
- Seja Q={números naturais menores que 25}. Então Q é um conjunto finito e n (P)=24.
- Deixe R={inteiros entre 5 e 45}. Então R é um conjunto finito e n (R)=38.
- Seja S={números módulo 9}. Então S={-9, 9} é um conjunto finito e n (S)=2.
- Conjunto de todas as pessoas.
- Número de todas as aves.
Exemplos infinitos:
- número de pontos existentes no plano;
- número de todos os pontos no segmento de linha;
- o conjunto dos inteiros positivos divisíveis por 3 é infinito;
- todos os números inteiros e naturais.
Assim, a partir do raciocínio acima, fica claro como distinguir entre conjuntos finitos e infinitos.
Potência do conjunto contínuo
Se compararmos o conjunto e outros valores existentes, uma adição é anexada ao conjunto. Se ξ é universal e A é um subconjunto de ξ, então o complemento de A é o número de todos os elementos de ξ que não são elementos de A. Simbolicamente, o complemento de A em relação a ξ é A'. Por exemplo, 2, 4, 5, 6 são os únicos elementos de ξ que não pertencem a A. Portanto, A'={2, 4, 5, 6}
Um conjunto com cardinalidade contínua tem as seguintes características:
- complemento da quantidade universal é o valor vazio em questão;
- esta variável de conjunto nulo é universal;
- quantia e seu complemento são disjuntos.
Por exemplo:
- Seja o número de números naturais um conjunto universal e A par. Então A '{x: x é um conjunto ímpar com os mesmos dígitos}.
- Deixe ξ=conjunto de letras do alfabeto. A=conjunto de consoantes. Então A '=número de vogais.
- O complemento do conjunto universal é a quantidade vazia. Pode ser denotado por ξ. Então ξ '=O conjunto daqueles elementos que não estão incluídos em ξ. O conjunto vazio φ é escrito e denotado. Portanto ξ=φ. Assim, o complemento do conjunto universal é vazio.
Em matemática, "contínuo" às vezes é usado para representar uma linha real. E de forma mais geral, para descrever objetos semelhantes:
- contínuo (na teoria dos conjuntos) - linha real ou número cardinal correspondente;
- linear - qualquer conjunto ordenado que compartilha certas propriedades de uma linha real;
- continuum (em topologia) - espaço métrico conectado compacto não vazio (às vezes Hausdorff);
- a hipótese de que nenhum conjunto infinito é maior que inteiros, mas menor que números reais;
- a potência do continuum é um número cardinal que representa o tamanho do conjunto dos números reais.
Essencialmente, um continuum (medição), teorias ou modelos que explicam as transições graduais de um estado para outro sem qualquer mudança abrupta.
Problemas de união e interseção
Sabe-se que a interseção de dois ou mais conjuntos é o número que contém todos os elementos que são comuns nesses valores. Tarefas do Word em conjuntos são resolvidas para obter ideias básicas sobre como usar as propriedades de união e interseção de conjuntos. Resolveu os principais problemas de palavras emconjuntos ficam assim:
Seja A e B dois conjuntos finitos. Eles são tais que n (A)=20, n (B)=28 e n (A ∪ B)=36, encontre n (A ∩ B)
Relação em conjuntos usando diagrama de Venn:
- A união de dois conjuntos pode ser representada por uma área sombreada representando A ∪ B. A ∪ B quando A e B são conjuntos disjuntos.
- A interseção de dois conjuntos pode ser representada por um diagrama de Venn. Com área sombreada representando A ∩ B.
- A diferença entre os dois conjuntos pode ser representada por diagramas de Venn. Com uma área sombreada representando A - B.
- Relação entre três conjuntos usando um diagrama de Venn. Se ξ representa uma quantidade universal, então A, B, C são três subconjuntos. Aqui todos os três conjuntos estão sobrepostos.
Resumindo informações do conjunto
A cardinalidade de um conjunto é definida como o número total de elementos individuais no conjunto. E o último valor especificado é descrito como o número de todos os subconjuntos. Ao estudar tais questões, métodos, métodos e soluções são necessários. Assim, para a cardinalidade de um conjunto, os seguintes exemplos podem servir como:
Seja A={0, 1, 2, 3}| |=4, onde | A | representa a cardinalidade do conjunto A.
Agora você pode encontrar seu pacote de energia. É bem simples também. Como já foi dito, o conjunto de potências é definido a partir de todos os subconjuntos de um determinado número. Então deve-se basicamente definir todas as variáveis, elementos e outros valores de A,que são {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Agora, calcule P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} que tem 16 elementos. Assim, a cardinalidade do conjunto A=16. Obviamente, este é um método tedioso e complicado para resolver este problema. No entanto, existe uma fórmula simples pela qual, diretamente, você pode saber o número de elementos no conjunto de potências de um determinado número. | P |=2 ^ N, onde N é o número de elementos em algum A. Esta fórmula pode ser obtida usando uma simples combinatória. Então a questão é 2^11 já que o número de elementos no conjunto A é 11.
Então, um conjunto é qualquer quantidade expressa numericamente, que pode ser qualquer objeto possível. Por exemplo, carros, pessoas, números. Em um sentido matemático, esse conceito é mais amplo e generalizado. Se nos estágios iniciais os números e as opções para sua solução são resolvidos, nos estágios intermediário e superior as condições e as tarefas são complicadas. De fato, a cardinalidade da união de um conjunto é determinada pelo pertencimento do objeto a qualquer grupo. Ou seja, um elemento pertence a uma classe, mas possui uma ou mais variáveis.
