Um corpo lançado em ângulo com o horizonte: tipos de trajetórias, fórmulas

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Cada um de nós jogou pedras no céu e observou a trajetória de sua queda. Este é o exemplo mais comum do movimento de um corpo rígido no campo de forças gravitacionais do nosso planeta. Neste artigo, consideraremos fórmulas que podem ser úteis para resolver problemas sobre o movimento livre de um corpo lançado em ângulo no horizonte.

O conceito de se mover em direção ao horizonte em um ângulo

Quando um objeto sólido recebe uma velocidade inicial, e começa a ganhar altura, e então, novamente, cai no chão, é geralmente aceito que o corpo se move ao longo de uma trajetória parabólica. De fato, a solução de equações para esse tipo de movimento mostra que a linha descrita pelo corpo no ar faz parte de uma elipse. No entanto, para uso prático, a aproximação parabólica acaba sendo bastante conveniente e leva a resultados exatos.

Exemplos do movimento de um corpo lançado em ângulo em relação ao horizonte são disparar um projétil da boca de um canhão, chutar uma bola e até mesmo pular pedrinhas na superfície da água ("sapos"), que são mantidocompetições internacionais.

O tipo de movimento em ângulo é estudado pela balística.

Propriedades do tipo de movimento considerado

Ao considerar a trajetória de um corpo no campo das forças gravitacionais da Terra, as seguintes afirmações são verdadeiras:

• saber a altura inicial, velocidade e ângulo em relação ao horizonte permite calcular toda a trajetória;
• o ângulo de partida é igual ao ângulo de incidência do corpo, desde que a altura inicial seja zero;
• movimento vertical pode ser considerado independentemente do movimento horizontal;

Observe que essas propriedades são válidas se a força de atrito durante o voo do corpo for desprezível. Na balística, ao estudar o voo de projéteis, muitos fatores diferentes são levados em consideração, incluindo o atrito.

Tipos de movimento parabólico

Dependendo da altura a partir da qual o movimento começa, a que altura termina e como a velocidade inicial é direcionada, distinguem-se os seguintes tipos de movimento parabólico:

• Parábola completa. Neste caso, o corpo é lançado da superfície da Terra e cai sobre esta superfície, descrevendo uma parábola completa.
• Metade de uma parábola. Tal gráfico do movimento do corpo é observado se ele for lançado de uma certa altura h, direcionando a velocidade v paralela ao horizonte, ou seja, em um ângulo θ=0^o.
• Parte de uma parábola. Tais trajetórias surgem quando um corpo é lançado em algum ângulo θ≠0^o, e a diferençaas alturas inicial e final também são diferentes de zero (h-h₀≠0). A maioria das trajetórias de movimento de objetos são desse tipo. Por exemplo, um tiro de canhão em uma colina ou um jogador de basquete jogando uma bola em uma cesta.

O gráfico do movimento do corpo correspondente a uma parábola completa é mostrado acima.

Fórmulas necessárias para cálculo

Vamos dar fórmulas para descrever o movimento de um corpo lançado em ângulo com o horizonte. Desprezando a força de atrito e levando em conta apenas a força da gravidade, podemos escrever duas equações para a velocidade de um objeto:

v_x=v₀cos(θ)

v_y=v₀sin(θ) - gt

Como a gravidade é direcionada verticalmente para baixo, ela não altera a componente horizontal da velocidade v_x, portanto, não há dependência do tempo na primeira igualdade. A componente v_y, por sua vez, é influenciada pela gravidade, que dá a g uma aceleração ao corpo direcionado ao solo (daí o sinal de menos na fórmula).

Agora vamos escrever fórmulas para alterar as coordenadas de um corpo lançado em ângulo com o horizonte:

x=x₀+v₀cos(θ)t

y=y₀+ v₀sin(θ)t - gt² /2

Coordenada inicial x₀frequentemente assumida como zero. A coordenada y₀ nada mais é do que a altura h da qual o corpo é lançado (y₀=h).

Agora vamos expressar o tempo t da primeira expressão e substituí-la na segunda, temos:

y=h + tg(θ)x - g /(2v₀²cos ²(θ))x²

Esta expressão em geometria corresponde a uma parábola cujos ramos são direcionados para baixo.

As equações acima são suficientes para determinar quaisquer características deste tipo de movimento. Assim, sua solução leva ao fato de que o alcance máximo de voo é alcançado se θ=45^o, enquanto a altura máxima para a qual o corpo arremessado sobe é alcançada quando θ=90o.