Ao estudar o movimento mecânico em física, depois de se familiarizar com o movimento uniforme e uniformemente acelerado dos objetos, eles passam a considerar o movimento de um corpo em ângulo com o horizonte. Neste artigo, estudaremos essa questão com mais detalhes.
Qual é o movimento de um corpo em ângulo com o horizonte?
Esse tipo de movimento de objeto ocorre quando uma pessoa joga uma pedra no ar, um canhão dispara uma bola de canhão ou um goleiro chuta uma bola de futebol para fora do gol. Todos esses casos são considerados pela ciência da balística.
O tipo observado de movimento de objetos no ar ocorre ao longo de uma trajetória parabólica. No caso geral, realizar os cálculos correspondentes não é uma tarefa fácil, pois é necessário levar em consideração a resistência do ar, a rotação do corpo durante o voo, a rotação da Terra em torno de seu eixo e alguns outros fatores.
Neste artigo, não levaremos em conta todos esses fatores, mas consideraremos a questão de um ponto de vista puramente teórico. No entanto, as fórmulas resultantes são muito boasdescreva as trajetórias de corpos que se movem em distâncias curtas.
Obtenção de fórmulas para o tipo de movimento considerado
Vamos derivar as fórmulas para o movimento do corpo em direção ao horizonte em um ângulo. Nesse caso, levaremos em consideração apenas uma única força atuando em um objeto voador - a gravidade. Como atua verticalmente para baixo (paralelo ao eixo y e contra ele), então, considerando as componentes horizontal e vertical do movimento, podemos dizer que a primeira terá o caráter de um movimento retilíneo uniforme. E o segundo - movimento retilíneo igualmente lento (acelerado uniformemente) com aceleração g. Ou seja, as componentes da velocidade através do valor v0 (velocidade inicial) e θ (o ângulo da direção do movimento do corpo) serão escritas da seguinte forma:
vx=v0cos(θ)
vy=v0sin(θ)-gt
A primeira fórmula (para vx) é sempre válida. Quanto ao segundo, uma nuance deve ser notada aqui: o sinal de menos antes do produto gt é colocado somente se a componente vertical v0sin(θ) estiver direcionada para cima. Na maioria dos casos, isso acontece, no entanto, se você jogar um corpo de uma altura, apontando-o para baixo, então na expressão para vy você deve colocar um sinal "+" antes de g t.
Integrando as fórmulas das componentes da velocidade ao longo do tempo, e levando em consideração a altura inicial h do voo do corpo, obtemos as equações para as coordenadas:
x=v0cos(θ)t
y=h+v0sin(θ)t-gt2/2
Calcular alcance de voo
Ao considerar em física o movimento de um corpo para o horizonte em um ângulo útil para uso prático, acaba por calcular o alcance do voo. Vamos definir.
Como este movimento é um movimento uniforme sem aceleração, basta substituir nele o tempo de voo e obter o resultado desejado. O alcance do voo é determinado apenas pelo movimento ao longo do eixo x (paralelo ao horizonte).
O tempo que o corpo está no ar pode ser calculado igualando a coordenada y a zero. Temos:
0=h+v0sen(θ)t-gt2/2
Esta equação quadrática é resolvida através do discriminante, temos:
D=b2- 4ac=v02sin 2(θ) - 4(-g/2)h=v02 sin2(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v0sin(θ)±√(v0 2sin2(θ) + 2gh))/(-2g/2)=
=(v0sin(θ)+√(v02 sen2(θ) + 2gh))/g.
Na última expressão, uma raiz com sinal de menos é descartada, devido ao seu valor físico insignificante. Substituindo o tempo de voo t na expressão para x, obtemos o alcance de voo l:
l=x=v0cos(θ)(v0sin(θ)+√(v 02sen2(θ) + 2gh))/g.
A maneira mais fácil de analisar esta expressão é se a altura inicialé igual a zero (h=0), então obtemos uma fórmula simples:
l=v 02sin(2θ)/g
Esta expressão indica que o alcance máximo de voo pode ser obtido se o corpo for lançado num ângulo de 45o(sin(245o )=m1).
Altura máxima do corpo
Além do alcance de vôo, também é útil encontrar a altura acima do solo que o corpo pode subir. Como este tipo de movimento é descrito por uma parábola, cujos ramos são direcionados para baixo, a altura máxima de elevação é o seu extremo. O último é calculado resolvendo a equação para a derivada em relação a t para y:
dy/dt=d(h+v0sin(θ)t-gt2/2)/dt=v0sin(θ)-gt=0=>
=>t=v0sin(θ)/g.
Substituindo desta vez na equação para y, obtemos:
y=h+v0sin(θ)v0sin(θ)/g-g(v 0sin(θ)/g)2/2=h + v0 2sin2(θ)/(2g).
Esta expressão indica que o corpo subirá até a altura máxima se for lançado verticalmente para cima (sin2(90o)=1).
