Derivação da fórmula da área de um cone. Exemplo de solução de problema

Derivação da fórmula da área de um cone. Exemplo de solução de problema
Derivação da fórmula da área de um cone. Exemplo de solução de problema
Anonim

O estudo das propriedades das figuras espaciais desempenha um papel importante na resolução de problemas práticos. A ciência que lida com figuras no espaço é chamada de estereometria. Neste artigo, do ponto de vista da geometria sólida, vamos considerar um cone e mostrar como encontrar a área de um cone.

Cone com base redonda

No caso geral, um cone é uma superfície construída sobre alguma curva plana, cujos pontos são conectados por segmentos com um ponto no espaço. Este último é chamado de ápice do cone.

A partir da definição acima, fica claro que uma curva pode ter uma forma arbitrária, como parabólica, hiperbólica, elíptica e assim por diante. No entanto, na prática e em problemas de geometria, muitas vezes é um cone redondo que é frequentemente encontrado. É mostrado na imagem abaixo.

Opções de cone
Opções de cone

Aqui o símbolo r denota o raio do círculo localizado na base da figura, h é a perpendicular ao plano do círculo, que é desenhado a partir do topo da figura. Chama-se altura. O valor s é a geratriz do cone, ou sua geratriz.

Pode-se ver que os segmentos r, h e sformar um triângulo retângulo. Se ele for girado em torno do cateto h, a hipotenusa s descreverá a superfície cônica e o cateto r formará a base redonda da figura. Por esta razão, o cone é considerado uma figura de revolução. Os três parâmetros lineares nomeados estão interligados pela igualdade:

s2=r2+ h2

Observe que a igualdade dada é válida apenas para um cone reto redondo. Uma figura reta é somente se sua altura cai exatamente no centro do círculo de base. Se essa condição não for atendida, a figura é chamada de oblíqua. A diferença entre cones retos e oblíquos é mostrada na figura abaixo.

Cones retos e oblíquos
Cones retos e oblíquos

Desenvolvimento da forma

Estudar a área da superfície de um cone é conveniente de ser realizado, considerando-o em um plano. Essa maneira de representar a superfície das figuras no espaço é chamada de desenvolvimento. Para um cone, esse desenvolvimento pode ser obtido da seguinte forma: você precisa pegar uma figura feita, por exemplo, de papel. Em seguida, com uma tesoura, corte a base redonda ao redor da circunferência. Depois disso, ao longo da geratriz, faça um corte da superfície cônica e transforme-a em um plano. O resultado dessas operações simples será o desenvolvimento do cone, mostrado na figura abaixo.

Desenvolvimento de cone
Desenvolvimento de cone

Como você pode ver, a superfície de um cone pode de fato ser representada em um plano. Consiste nas seguintes duas partes:

  • círculo com raio r representando a base da figura;
  • setor circular com raio g, que é uma superfície cônica.

A fórmula para a área de um cone envolve encontrar as áreas de ambas as superfícies desdobradas.

Calcule a área da superfície de uma figura

Vamos dividir a tarefa em duas etapas. Primeiro encontramos a área da base do cone, depois a área da superfície cônica.

A primeira parte do problema é fácil de resolver. Como o raio r é dado, basta lembrar a expressão correspondente para a área de um círculo para calcular a área da base. Vamos anotar:

So=pi × r2

Se o raio não for conhecido, então você deve primeiro encontrá-lo usando a fórmula da relação entre ele, a altura e o gerador.

A segunda parte do problema de encontrar a área de um cone é um pouco mais complicada. Observe que o setor circular é construído sobre o raio g da geratriz e é limitado por um arco cujo comprimento é igual à circunferência do círculo. Este fato permite que você anote a proporção e encontre o ângulo do setor considerado. Vamos denotar com a letra grega φ. Este ângulo será igual a:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Conhecendo o ângulo central φ de um setor circular, você pode usar a proporção apropriada para encontrar sua área. Vamos denotar com o símbolo Sb. Será igual a:

2 × pi=>pi × g2;

φ=> Sb;

Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Ou seja, a área da superfície cônica corresponde ao produto da geratriz g, o raio da base r e o número Pi.

Sabendo quais são as áreas de ambossuperfícies consideradas, podemos escrever a fórmula final para a área de um cone:

S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

A expressão escrita pressupõe o conhecimento de dois parâmetros lineares do cone para calcular S. Se g ou r for desconhecido, então eles podem ser encontrados através da altura h.

O problema de calcular a área de um cone

Área de superfície do cone
Área de superfície do cone

Sabe-se que a altura de um cone reto redondo é igual ao seu diâmetro. É necessário calcular a área da figura, sabendo que a área da base de bits é 50 cm2.

Conhecendo a área de um círculo, você pode encontrar o raio da figura. Temos:

So=pi × r2=>

r=√(So /pi)

Agora vamos encontrar o gerador g em termos de h e r. De acordo com a condição, a altura h da figura é igual a dois raios r, então:

h=2 × r;

g2=(2 × r)2+ r2=>

g=√5 × r=√(5 × So /pi)

As fórmulas encontradas para g e r devem ser substituídas na expressão para toda a área do cone. Obtemos:

S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)

Na expressão resultante substituímos a área da base So e escrevemos a resposta: S ≈ 161,8 cm2.

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