Derivação da fórmula da área de um cone. Exemplo de solução de problema

2025 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2025-01-23 12:31

O estudo das propriedades das figuras espaciais desempenha um papel importante na resolução de problemas práticos. A ciência que lida com figuras no espaço é chamada de estereometria. Neste artigo, do ponto de vista da geometria sólida, vamos considerar um cone e mostrar como encontrar a área de um cone.

Cone com base redonda

No caso geral, um cone é uma superfície construída sobre alguma curva plana, cujos pontos são conectados por segmentos com um ponto no espaço. Este último é chamado de ápice do cone.

A partir da definição acima, fica claro que uma curva pode ter uma forma arbitrária, como parabólica, hiperbólica, elíptica e assim por diante. No entanto, na prática e em problemas de geometria, muitas vezes é um cone redondo que é frequentemente encontrado. É mostrado na imagem abaixo.

Aqui o símbolo r denota o raio do círculo localizado na base da figura, h é a perpendicular ao plano do círculo, que é desenhado a partir do topo da figura. Chama-se altura. O valor s é a geratriz do cone, ou sua geratriz.

Pode-se ver que os segmentos r, h e sformar um triângulo retângulo. Se ele for girado em torno do cateto h, a hipotenusa s descreverá a superfície cônica e o cateto r formará a base redonda da figura. Por esta razão, o cone é considerado uma figura de revolução. Os três parâmetros lineares nomeados estão interligados pela igualdade:

s²=r²+ h²

Observe que a igualdade dada é válida apenas para um cone reto redondo. Uma figura reta é somente se sua altura cai exatamente no centro do círculo de base. Se essa condição não for atendida, a figura é chamada de oblíqua. A diferença entre cones retos e oblíquos é mostrada na figura abaixo.

Desenvolvimento da forma

Estudar a área da superfície de um cone é conveniente de ser realizado, considerando-o em um plano. Essa maneira de representar a superfície das figuras no espaço é chamada de desenvolvimento. Para um cone, esse desenvolvimento pode ser obtido da seguinte forma: você precisa pegar uma figura feita, por exemplo, de papel. Em seguida, com uma tesoura, corte a base redonda ao redor da circunferência. Depois disso, ao longo da geratriz, faça um corte da superfície cônica e transforme-a em um plano. O resultado dessas operações simples será o desenvolvimento do cone, mostrado na figura abaixo.

Como você pode ver, a superfície de um cone pode de fato ser representada em um plano. Consiste nas seguintes duas partes:

• círculo com raio r representando a base da figura;
• setor circular com raio g, que é uma superfície cônica.

A fórmula para a área de um cone envolve encontrar as áreas de ambas as superfícies desdobradas.

Calcule a área da superfície de uma figura

Vamos dividir a tarefa em duas etapas. Primeiro encontramos a área da base do cone, depois a área da superfície cônica.

A primeira parte do problema é fácil de resolver. Como o raio r é dado, basta lembrar a expressão correspondente para a área de um círculo para calcular a área da base. Vamos anotar:

S_o=pi × r²

Se o raio não for conhecido, então você deve primeiro encontrá-lo usando a fórmula da relação entre ele, a altura e o gerador.

A segunda parte do problema de encontrar a área de um cone é um pouco mais complicada. Observe que o setor circular é construído sobre o raio g da geratriz e é limitado por um arco cujo comprimento é igual à circunferência do círculo. Este fato permite que você anote a proporção e encontre o ângulo do setor considerado. Vamos denotar com a letra grega φ. Este ângulo será igual a:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Conhecendo o ângulo central φ de um setor circular, você pode usar a proporção apropriada para encontrar sua área. Vamos denotar com o símbolo S_b. Será igual a:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Ou seja, a área da superfície cônica corresponde ao produto da geratriz g, o raio da base r e o número Pi.

Sabendo quais são as áreas de ambossuperfícies consideradas, podemos escrever a fórmula final para a área de um cone:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

A expressão escrita pressupõe o conhecimento de dois parâmetros lineares do cone para calcular S. Se g ou r for desconhecido, então eles podem ser encontrados através da altura h.

O problema de calcular a área de um cone

Sabe-se que a altura de um cone reto redondo é igual ao seu diâmetro. É necessário calcular a área da figura, sabendo que a área da base de bits é 50 cm².

Conhecendo a área de um círculo, você pode encontrar o raio da figura. Temos:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Agora vamos encontrar o gerador g em termos de h e r. De acordo com a condição, a altura h da figura é igual a dois raios r, então:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o /pi)

As fórmulas encontradas para g e r devem ser substituídas na expressão para toda a área do cone. Obtemos:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Na expressão resultante substituímos a área da base S_o e escrevemos a resposta: S ≈ 161,8 cm².