Em geometria, depois de um ponto, uma linha reta é talvez o elemento mais simples. É usado na construção de quaisquer figuras complexas no plano e no espaço tridimensional. Neste artigo, consideraremos a equação geral de uma linha reta e resolveremos alguns problemas usando-a. Vamos começar!
Reta na geometria
Todo mundo sabe que formas como retângulo, triângulo, prisma, cubo e assim por diante são formadas pela interseção de linhas retas. Uma linha reta em geometria é um objeto unidimensional que pode ser obtido transferindo um determinado ponto para um vetor com a mesma direção ou direção oposta. Para entender melhor essa definição, imagine que existe algum ponto P no espaço. Tome um vetor arbitrário u¯ neste espaço. Então qualquer ponto Q da linha pode ser obtido como resultado das seguintes operações matemáticas:
Q=P + λu¯.
Aqui λ é um número arbitrário que pode ser positivo ou negativo. Se a igualdadeescreva acima em termos de coordenadas, então obtemos a seguinte equação de uma linha reta:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Esta igualdade é chamada de equação de uma linha reta na forma vetorial. E o vetor u¯ é chamado de guia.
Equação geral de uma reta em um plano
Todos os alunos podem anotá-lo sem qualquer dificuldade. Mas na maioria das vezes a equação é escrita assim:
y=kx + b.
Onde k e b são números arbitrários. O número b é chamado de membro livre. O parâmetro k é igual à tangente do ângulo formado pela interseção da reta com o eixo x.
A equação acima é expressa em relação à variável y. Se o apresentarmos de uma forma mais geral, obteremos a seguinte notação:
Ax + By + C=0.
É fácil mostrar que esta forma de escrever a equação geral de uma reta em um plano é facilmente transformada na forma anterior. Para fazer isso, as partes esquerda e direita devem ser divididas pelo fator B e expressadas y.
A figura acima mostra uma linha reta passando por dois pontos.
Uma linha no espaço 3D
Vamos continuar nosso estudo. Consideramos a questão de como a equação de uma linha reta em uma forma geral é dada em um plano. Se aplicarmos a notação dada no parágrafo anterior do artigo para o caso espacial, o que obteremos? Tudo é simples - não é mais uma linha reta, mas um plano. De fato, a seguinte expressão descreve um plano paralelo ao eixo z:
Ax + By + C=0.
Se C=0, então tal plano passapelo eixo z. Esta é uma característica importante.
Como ficar então com a equação geral de uma reta no espaço? Para entender como perguntar, você precisa se lembrar de algo. Dois planos se cruzam ao longo de uma certa linha reta. O que isto significa? Só que a equação geral é o resultado da resolução de um sistema de duas equações para planos. Vamos escrever este sistema:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Este sistema é a equação geral de uma linha reta no espaço. Observe que os planos não devem ser paralelos entre si, ou seja, seus vetores normais devem estar inclinados em algum ângulo em relação um ao outro. Caso contrário, o sistema não terá soluções.
Acima demos a forma vetorial da equação para uma linha reta. É conveniente usar ao resolver este sistema. Para fazer isso, primeiro você precisa encontrar o produto vetorial das normais desses planos. O resultado desta operação será um vetor direcional de uma linha reta. Então, qualquer ponto pertencente à linha deve ser calculado. Para fazer isso, você precisa definir qualquer uma das variáveis igual a um determinado valor, as duas variáveis restantes podem ser encontradas resolvendo o sistema reduzido.
Como traduzir uma equação vetorial para uma geral? Nuances
Este é um problema real que pode surgir se você precisar escrever a equação geral de uma linha reta usando as coordenadas conhecidas de dois pontos. Vamos mostrar como esse problema é resolvido com um exemplo. Sejam conhecidas as coordenadas de dois pontos:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Equação na forma vetorial é bem fácil de compor. As coordenadas do vetor de direção são:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Observe que não há diferença se subtrairmos as coordenadas Q das coordenadas do ponto P, o vetor só mudará sua direção para o contrário. Agora você deve pegar qualquer ponto e escrever a equação vetorial:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Para escrever a equação geral de uma reta, o parâmetro λ deve ser expresso em ambos os casos. E depois compare os resultados. Temos:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Resta apenas abrir os colchetes e transferir todos os termos da equação para um lado da equação para obter uma expressão geral para uma linha reta que passa por dois pontos conhecidos.
No caso de um problema tridimensional, o algoritmo de solução é preservado, apenas seu resultado será um sistema de duas equações para planos.
Tarefa
É necessário fazer uma equação geraluma linha reta que intercepta o eixo x em (-3, 0) e é paralela ao eixo y.
Vamos começar a resolver o problema escrevendo a equação na forma vetorial. Como a linha é paralela ao eixo y, o vetor de direção para ela será o seguinte:
u¯=(0, 1).
Então a linha desejada será escrita da seguinte forma:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Agora vamos traduzir esta expressão para uma forma geral, para isso expressamos o parâmetro λ:
- x=-3;
- y=λ.
Assim, qualquer valor da variável y pertence à linha, porém, apenas o valor único da variável x corresponde a ela. Portanto, a equação geral terá a forma:
x + 3=0.
Problema com uma linha reta no espaço
Sabe-se que dois planos de interseção são dados pelas seguintes equações:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
É necessário encontrar a equação vetorial da reta ao longo da qual esses planos se interceptam. Vamos começar.
Como foi dito, a equação geral de uma reta no espaço tridimensional já é dada na forma de um sistema de dois com três incógnitas. Em primeiro lugar, determinamos o vetor de direção ao longo do qual os planos se cruzam. Multiplicando as coordenadas vetoriais das normais aos planos, obtemos:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Como a multiplicação de um vetor por um número negativo inverte sua direção, podemos escrever:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Parapara encontrar uma expressão vetorial para uma reta, além do vetor de direção, deve-se conhecer algum ponto dessa reta. Encontre uma vez que suas coordenadas devem satisfazer o sistema de equações na condição do problema, então vamos encontrá-las. Por exemplo, vamos colocar x=0, então temos:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Assim, o ponto pertencente à reta desejada tem as coordenadas:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Então obtemos a resposta para este problema, a equação vetorial da reta desejada ficará assim:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
A correção da solução pode ser facilmente verificada. Para fazer isso, você precisa escolher um valor arbitrário do parâmetro λ e substituir as coordenadas obtidas do ponto da linha reta em ambas as equações para os planos, você obterá uma identidade em ambos os casos.
