Um importante objeto geométrico que é estudado no espaço plano é uma linha reta. No espaço tridimensional, além da linha reta, existe também um plano. Ambos os objetos são convenientemente definidos usando vetores de direção. O que é isso, como esses vetores são usados para determinar as equações de uma linha reta e um plano? Essas e outras perguntas são abordadas no artigo.
Linha direta e como defini-la
Cada aluno tem uma boa ideia de qual objeto geométrico está falando. Do ponto de vista da matemática, uma linha reta é um conjunto de pontos que, no caso de sua conexão arbitrária aos pares, leva a um conjunto de vetores paralelos. Esta definição de linha é usada para escrever uma equação para ela em duas e três dimensões.
Para descrever o objeto unidimensional considerado, são utilizados diferentes tipos de equações, listadas na lista abaixo:
- visão geral;
- paramétrico;
- vetor;
- canônico ou simétrico;
- em segmentos.
Cada uma dessas espécies tem algumas vantagens sobre as outras. Por exemplo, uma equação em segmentos é conveniente para usar ao estudar o comportamento de uma linha reta em relação aos eixos coordenados, uma equação geral é conveniente para encontrar uma direção perpendicular a uma determinada linha reta, bem como ao calcular o ângulo de sua interseção com o eixo x (para um caso plano).
Como o tópico deste artigo está relacionado ao vetor diretor de uma linha reta, consideraremos apenas a equação onde esse vetor é fundamental e está contido explicitamente, ou seja, uma expressão vetorial.
Especificando uma linha reta através de um vetor
Suponha que temos algum vetor v¯ com coordenadas conhecidas (a; b; c). Como há três coordenadas, o vetor é dado no espaço. Como descrevê-lo em um sistema de coordenadas retangulares? Isso é feito de forma muito simples: em cada um dos três eixos, um segmento é traçado, cujo comprimento é igual à coordenada correspondente do vetor. O ponto de intersecção das três perpendiculares restauradas aos planos xy, yz e xz será o final do vetor. Seu início é o ponto (0; 0; 0).
No entanto, a posição dada do vetor não é a única. Da mesma forma, pode-se desenhar v colocando sua origem em um ponto arbitrário no espaço. Esses argumentos dizem que é impossível definir uma linha específica usando um vetor. Ele define uma família de um número infinito de linhas paralelas.
Agorafixe algum ponto P(x0; y0; z0) do espaço. E estabelecemos a condição: uma linha reta deve passar por P. Neste caso, o vetor v¯ também deve conter este ponto. O último fato significa que uma única linha pode ser definida usando P e v¯. Será escrito como a seguinte equação:
Q=P + λ × v¯
Aqui Q é qualquer ponto pertencente à reta. Este ponto pode ser obtido escolhendo o parâmetro λ apropriado. A equação escrita é chamada de equação vetorial, e v¯ é chamado de vetor direcional da linha reta. Dispondo-o de modo que passe por P e alterando seu comprimento com o parâmetro λ, obtemos cada ponto de Q como uma linha reta.
Em forma de coordenadas, a equação será escrita da seguinte forma:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
E de forma explícita (paramétrica), você pode escrever:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Se excluirmos a terceira coordenada nas expressões acima, obtemos as equações vetoriais da linha reta no plano.
Para quais tarefas é útil conhecer o vetor de direção ?
Em regra, estas são tarefas para determinar o paralelismo e a perpendicularidade das linhas. Além disso, o vetor direto que determina a direção é usado no cálculo da distância entre as linhas retas e um ponto e uma linha reta, para descrever o comportamento de uma linha reta em relação a um plano.
Doislinhas serão paralelas se seus vetores de direção forem. Assim, a perpendicularidade das linhas é provada usando a perpendicularidade de seus vetores. Nesses tipos de problemas, basta calcular o produto escalar dos vetores considerados para obter a resposta.
No caso de tarefas de cálculo de distâncias entre linhas e pontos, o vetor de direção é explicitamente incluído na fórmula correspondente. Vamos anotar:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Aqui P1P2¯ - construído nos pontos P1 e P 2 segmento direcionado. O ponto P2 é arbitrário, estando na reta com o vetor v¯, enquanto o ponto P1 é aquele ao qual a distância deve seja determinado. Pode ser independente ou pertencer a outra linha ou plano.
Observe que faz sentido calcular a distância entre as linhas apenas quando elas são paralelas ou se cruzam. Se eles se cruzam, então d é zero.
A fórmula acima para d também é válida para calcular a distância entre um plano e uma reta paralela a ele, só que neste caso P1deve pertencer ao plano.
Vamos resolver vários problemas para mostrar melhor como usar o vetor considerado.
Problema de Equação Vetorial
Sabe-se que uma linha reta é descrita pela seguinte equação:
y=3 × x - 4
Você deve escrever a expressão apropriada emforma vetorial.
Esta é uma equação típica de uma linha reta, conhecida por todos os alunos, escrita na forma geral. Vamos mostrar como reescrever na forma vetorial.
A expressão pode ser representada como:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Pode-se ver que se você abri-lo, obtém a igualdade original. Agora dividimos seu lado direito em dois vetores para que apenas um deles contenha x, temos:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Resta tirar x dos colchetes, designá-lo com um símbolo grego e trocar os vetores do lado direito:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Temos a forma vetorial da expressão original. As coordenadas do vetor de direção da linha reta são (1; 3).
A tarefa de determinar a posição relativa das linhas
Duas linhas são dadas no espaço:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Eles são paralelos, se cruzam ou se cruzam?
Vetores diferentes de zero (-1; 3; 1) e (1; 2; 0) serão guias para essas linhas. Vamos expressar essas equações na forma paramétrica e substituir as coordenadas da primeira na segunda. Obtemos:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Substitua o parâmetro encontrado λ nas duas equações acima, temos:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ – 1=5
O parâmetro γ não pode receber dois valores diferentes ao mesmo tempo. Isso significa que as linhas não possuem um único ponto comum, ou seja, elas se cruzam. Eles não são paralelos, pois vetores diferentes de zero não são paralelos entre si (para seu paralelismo, deve haver um número que, multiplicado por um vetor, levaria às coordenadas do segundo).
Descrição matemática do avião
Para definir um plano no espaço, damos uma equação geral:
A × x + B × y + C × z + D=0
Aqui as letras maiúsculas latinas representam números específicos. Os três primeiros definem as coordenadas do vetor normal do plano. Se for denotado por n¯, então:
n¯=(A; B; C)
Este vetor é perpendicular ao plano, por isso é chamado de guia. Seu conhecimento, bem como as coordenadas conhecidas de qualquer ponto pertencente ao plano, determinam unicamente este último.
Se o ponto P(x1; y1; z1) pertence a o plano, então o intercepto D é calculado da seguinte forma:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Vamos resolver alguns problemas usando a equação geral do plano.
Tarefa paraencontrando o vetor normal do plano
O plano é definido da seguinte forma:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Como encontrar um vetor direcional para ela?
Da teoria acima segue que as coordenadas do vetor normal n¯ são os coeficientes na frente das variáveis. Nesse sentido, para encontrar n¯, a equação deve ser escrita na forma geral. Temos:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Então o vetor normal do plano é:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
O problema de elaborar a equação do plano
As coordenadas de três pontos são dadas:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Como será a equação do plano contendo todos esses pontos.
Através de três pontos que não pertencem à mesma reta, apenas um plano pode ser desenhado. Para encontrar sua equação, primeiro calculamos o vetor de direção do plano n¯. Para fazer isso, procedemos da seguinte forma: encontramos dois vetores arbitrários pertencentes ao plano e calculamos seu produto vetorial. Ele dará um vetor que será perpendicular a este plano, ou seja, n¯. Temos:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Pegue o ponto M1para desenharexpressões planas. Obtemos:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Nós obtivemos uma expressão de tipo geral para um plano no espaço definindo primeiro um vetor de direção para ele.
A propriedade do produto cruzado deve ser lembrada ao resolver problemas com planos, pois permite determinar as coordenadas de um vetor normal de maneira simples.
