Volume é uma característica de qualquer figura que tenha dimensões diferentes de zero em todas as três dimensões do espaço. Neste artigo, do ponto de vista da estereometria (a geometria das figuras espaciais), vamos considerar um prisma e mostrar como encontrar os volumes de prismas de vários tipos.
O que é um prisma?
A estereometria tem a resposta exata para essa pergunta. Um prisma nele é entendido como uma figura formada por duas faces poligonais idênticas e vários paralelogramos. A imagem abaixo mostra quatro prismas diferentes.
Cada um deles pode ser obtido da seguinte forma: você precisa pegar um polígono (triângulo, quadrilátero e assim por diante) e um segmento de um determinado comprimento. Em seguida, cada vértice do polígono deve ser transferido usando segmentos paralelos para outro plano. No novo plano, que será paralelo ao original, será obtido um novo polígono, semelhante ao escolhido inicialmente.
Prismas podem ser de diferentes tipos. Assim, eles podem ser retos, oblíquos e corretos. Se a borda lateral do prisma (segmento,conectando os vértices das bases) perpendiculares às bases da figura, então esta é uma linha reta. Assim, se essa condição não for atendida, estamos falando de um prisma inclinado. Uma figura regular é um prisma reto com base equiângulo e equilátero.
Mais adiante no artigo mostraremos como calcular o volume de cada um desses tipos de prismas.
Volume de prismas regulares
Vamos começar com o caso mais simples. Damos a fórmula para o volume de um prisma regular com uma base n-gonal. A fórmula de volume V para qualquer figura da classe em consideração é a seguinte:
V=Soh.
Ou seja, para determinar o volume, basta calcular a área de uma das bases So e multiplicá-la pela altura h da figura.
No caso de um prisma regular, vamos denotar o comprimento do lado de sua base com a letra a, e a altura, que é igual ao comprimento da aresta lateral, com a letra h. Se a base do n-gon estiver correta, a maneira mais fácil de calcular sua área é usar a seguinte fórmula universal:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Substituindo o valor do número de lados n e o comprimento de um lado a em igualdade, você pode calcular a área da base n-gonal. Observe que a função cotangente aqui é calculada para o ângulo pi/n, que é expresso em radianos.
Dada a igualdade escrita para S, obtemos a fórmula final para o volume de um prisma regular:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Para cada caso específico, você pode escrever as fórmulas correspondentes para V, mas todas elasseguem exclusivamente da expressão geral escrita. Por exemplo, para um prisma quadrangular regular, que no caso geral é um paralelepípedo retangular, temos:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Se tomarmos h=a nesta expressão, obtemos a fórmula para o volume do cubo.
Volume de prismas diretos
Observamos imediatamente que para figuras retas não existe uma fórmula geral para calcular o volume, que foi dada acima para prismas regulares. Ao encontrar o valor em questão, deve-se usar a expressão original:
V=Soh.
Aqui h é o comprimento da aresta lateral, como no caso anterior. Quanto à área de base So, ela pode assumir vários valores. A tarefa de calcular um prisma reto de volume se reduz a encontrar a área de sua base.
O cálculo do valor de Sodeve ser realizado com base nas características da própria base. Por exemplo, se for um triângulo, a área pode ser calculada assim:
So3=1/2aha.
Aqui ha é o apótema do triângulo, ou seja, sua altura rebaixada até a base a.
Se a base for um quadrilátero, então pode ser um trapézio, um paralelogramo, um retângulo ou um tipo completamente arbitrário. Para todos esses casos, você deve usar a fórmula de planimetria apropriada para determinar a área. Por exemplo, para um trapézio, esta fórmula se parece com:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Onde ha é a altura do trapézio, a1 e a2 são os comprimentos de seus lados paralelos.
Para determinar a área de polígonos de ordem superior, você deve dividi-los em formas simples (triângulos, quadrângulos) e calcular a soma das áreas destes últimos.
Volume de Prisma Inclinado
Este é o caso mais difícil de calcular o volume de um prisma. A fórmula geral para tais números também se aplica:
V=Soh.
No entanto, à complexidade de encontrar a área da base representando um tipo arbitrário de polígono, soma-se o problema de determinar a altura da figura. É sempre menor que o comprimento da aresta lateral em um prisma inclinado.
A maneira mais fácil de encontrar essa altura é conhecer qualquer ângulo da figura (plano ou diedro). Se tal ângulo for dado, então deve-se usá-lo para construir um triângulo retângulo dentro do prisma, que conteria a altura h como um dos lados e, usando funções trigonométricas e o teorema de Pitágoras, encontrar o valor h.
Problema de volume geométrico
Dado um prisma regular de base triangular, com 14 cm de altura e 5 cm de lado. Qual é o volume do prisma triangular?
Como estamos falando da figura correta, temos o direito de usar a conhecida fórmula. Temos:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Um prisma triangular é uma figura bastante simétrica, na forma da qual várias estruturas arquitetônicas são frequentemente feitas. Este prisma de vidro é usado em óptica.
