Já no ensino fundamental, os alunos se deparam com frações. E então eles aparecem em todos os tópicos. É impossível esquecer ações com esses números. Portanto, você precisa conhecer todas as informações sobre frações ordinárias e decimais. Esses conceitos são simples, o principal é entender tudo em ordem.
Por que precisamos de frações?
O mundo ao nosso redor consiste em objetos inteiros. Portanto, não há necessidade de ações. Mas a vida cotidiana constantemente leva as pessoas a trabalhar com partes de objetos e coisas.
Por exemplo, o chocolate consiste em várias fatias. Considere a situação em que seu ladrilho é formado por doze retângulos. Se você dividi-lo em dois, você obtém 6 partes. Será bem dividido em três. Mas cinco não podem receber um número inteiro de pedaços de chocolate.
A propósito, essas fatias já são frações. E sua divisão posterior leva a números mais complexos.
O que é uma "fração"?
Este é um número que consiste em partes de um. Externamente, parece dois números separados porhorizontal ou barra. Esse recurso é chamado de fracionário. O número escrito na parte superior (esquerda) é chamado de numerador. O abaixo (à direita) é o denominador.
Na verdade, a barra fracionária acaba sendo um sinal de divisão. Ou seja, o numerador pode ser chamado de dividendo e o denominador pode ser chamado de divisor.
Quais frações existem?
Existem apenas dois tipos em matemática: frações ordinárias e decimais. Os escolares conhecem os primeiros nas séries iniciais, chamando-os simplesmente de “frações”. O segundo aprende na 5ª série. É quando esses nomes aparecem.
Frações ordinárias - todas aquelas que são escritas como dois números separados por uma barra. Por exemplo, 4/7. Decimal é um número em que a parte fracionária tem uma notação posicional e é separada do inteiro por uma vírgula. Por exemplo, 4, 7. Os alunos precisam deixar claro que os dois exemplos dados são números completamente diferentes.
Cada fração simples pode ser escrita como um decimal. Esta afirmação é quase sempre verdadeira no sentido inverso também. Existem regras que permitem escrever uma fração decimal como uma fração ordinária.
Quais subtipos esses tipos de frações possuem?
É melhor começar em ordem cronológica conforme eles estão sendo estudados. As frações comuns vêm primeiro. Entre eles, 5 subespécies podem ser distinguidas.
- Correto. Seu numerador é sempre menor que o denominador.
- Errado. O numerador dela é maior ou igual ao denominador.
- Reduzível/irredutível. Ela pode ser comocerto e errado. Outra coisa é importante, se o numerador e o denominador têm fatores comuns. Se houver, então eles devem dividir ambas as partes da fração, ou seja, reduzi-la.
- Misto. Um inteiro é atribuído à sua parte fracionária correta (incorreta) usual. E sempre fica à esquerda.
- Composto. É formado por duas frações divididas entre si. Ou seja, contém três características fracionárias de uma só vez.
As frações decimais têm apenas dois subtipos:
- final, ou seja, aquele cuja parte fracionária é limitada (tem fim);
- infinite - um número cujos dígitos após a vírgula não terminam (podem ser escritos infinitamente).
Como converter um decimal em uma fração comum?
Se este for um número finito, então a associação baseada na regra é aplicada - como ouço, então escrevo. Ou seja, você precisa lê-lo corretamente e anotá-lo, mas sem vírgula, mas com uma linha fracionária.
Como uma dica sobre o denominador necessário, lembre-se que é sempre um e alguns zeros. Este último precisa ser escrito tantos quantos os dígitos na parte fracionária do número em questão.
Como converter frações decimais em ordinárias, se sua parte inteira estiver f altando, ou seja, igual a zero? Por exemplo, 0,9 ou 0,05. Depois de aplicar a regra especificada, você precisa escrever zero inteiros. Mas não é indicado. Resta escrever apenas as partes fracionárias. No primeiro númeroo denominador será igual a 10, o segundo terá 100. Ou seja, os exemplos indicados terão como respostas os números: 9/10, 5/100. Além disso, este último pode ser reduzido em 5. Portanto, o resultado para ele deve ser escrito 1/20.
Como fazer uma fração ordinária de um decimal se sua parte inteira for diferente de zero? Por exemplo, 5, 23 ou 13, 00108. Ambos os exemplos lêem a parte inteira e escrevem seu valor. No primeiro caso, isso é 5, no segundo - 13. Então você precisa passar para a parte fracionária. Com eles é necessário realizar a mesma operação. O primeiro número aparece 23/100, o segundo - 108/100000. O segundo valor precisa ser reduzido novamente. A resposta é frações mistas: 5 23/100 e 13 27/25000.
Como converter um decimal infinito em uma fração comum?
Se não for periódica, tal operação não pode ser realizada. Este fato se deve ao fato de que cada fração decimal é sempre convertida para final ou periódica.
A única coisa que você pode fazer com essa fração é arredondá-la. Mas então o decimal será aproximadamente igual a esse infinito. Já pode ser transformado em um comum. Mas o processo inverso: converter para decimal - nunca dará o valor inicial. Ou seja, infinitas frações não periódicas não são convertidas em frações ordinárias. Isso é algo para se lembrar.
Como escrever uma fração periódica infinita como uma fração comum?
Nestes números, após a vírgula, sempre aparecem um ou mais dígitos, que se repetem. Eles são chamados de períodos. Por exemplo, 03(3). Aqui "3" no período. Eles são classificados como racionais porque podem ser convertidos em frações ordinárias.
Aqueles que encontraram frações periódicas sabem que elas podem ser puras ou mistas. No primeiro caso, o ponto começa imediatamente a partir da vírgula. Na segunda, a parte fracionária começa com qualquer número, e então começa a repetição.
A regra segundo a qual você precisa escrever um decimal infinito como uma fração ordinária será diferente para esses dois tipos de números. É muito fácil escrever frações periódicas puras como frações ordinárias. Assim como os finais, eles precisam ser convertidos: escreva o ponto no numerador, e o número 9 será o denominador, repetindo quantas vezes houver dígitos no ponto.
Por exemplo, 0, (5). O número não tem uma parte inteira, então você precisa prosseguir imediatamente para a parte fracionária. Escreva 5 no numerador e 9 no denominador, ou seja, a resposta será a fração 5/9.
A regra sobre como escrever uma fração periódica decimal ordinária que é mista.
- Conte os dígitos fracionários até o ponto. Eles indicarão o número de zeros no denominador.
- Ver a duração do período. Tanto 9 terá um denominador.
- Escreva o denominador: primeiro noves, depois zeros.
- Para determinar o numerador, você precisa escrever a diferença de dois números. Todos os dígitos após o ponto decimal serão reduzidos, juntamente com o ponto. Subtraível - é sem ponto.
Por exemplo, 0, 5(8) - escreva a fração decimal periódica como uma fração comum. A parte fracionária antes do período éum dígito. Então zero será um. Há também apenas um dígito no período - 8. Ou seja, há apenas um nove. Ou seja, no denominador você precisa escrever 90.
Para determinar o numerador de 58, você precisa subtrair 5. Acontece 53. Por exemplo, a resposta terá que ser escrita 53/90.
Como você converte frações comuns em decimais?
A opção mais simples é um número cujo denominador é o número 10, 100 e assim por diante. Em seguida, o denominador é simplesmente descartado e uma vírgula é colocada entre as partes fracionária e inteira.
Há situações em que o denominador facilmente se transforma em 10, 100, etc. Por exemplo, os números 5, 20, 25. Basta multiplicá-los por 2, 5 e 4 respectivamente. Somente a multiplicação é necessária não apenas para o denominador, mas também para o numerador pelo mesmo número.
Para todos os outros casos, uma regra simples é útil: divida o numerador pelo denominador. Nesse caso, você pode obter duas respostas: uma fração decimal final ou periódica.
Ações com frações comuns
Adição e subtração
Os alunos os conhecem antes dos outros. E no início as frações têm os mesmos denominadores, e depois diferentes. As regras gerais podem ser reduzidas a este plano.
- Encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores.
- Grave fatores adicionais para todas as frações comuns.
- Multiplique os numeradores e denominadores pelos fatores definidos para eles.
- Adicione (subtraia) os numeradores das frações e deixe o denominador comum semmudanças.
- Se o numerador do minuendo for menor que o subtraendo, então você precisa descobrir se temos um número misto ou uma fração própria.
- No primeiro caso, a parte inteira deve receber um. Adicione um denominador ao numerador de uma fração. E então faça a subtração.
- No segundo - é necessário aplicar a regra de subtração de um número menor para um maior. Ou seja, subtraia o módulo do minuendo do módulo do subtraendo e coloque o sinal “-” na resposta.
- Observe atentamente o resultado da adição (subtração). Se você obtiver uma fração imprópria, deve selecionar a parte inteira. Ou seja, divida o numerador pelo denominador.
Multiplicação e divisão
Para sua implementação, as frações não precisam ser reduzidas a um denominador comum. Isso facilita a ação. Mas eles ainda precisam seguir as regras.
- Ao multiplicar frações ordinárias, é necessário considerar os números nos numeradores e denominadores. Se qualquer numerador e denominador tiverem um fator comum, então eles podem ser reduzidos.
- Multiplique numeradores.
- Multiplique denominadores.
- Se o resultado for uma fração reduzida, ela deve ser simplificada novamente.
- Ao dividir, você deve primeiro substituir a divisão por multiplicação e o divisor (segunda fração) por um recíproco (trocar o numerador e o denominador).
- Em seguida, proceda como na multiplicação (começando do passo 1).
- Em tarefas onde você precisa multiplicar (dividir) por um inteiro, o últimodeve ser escrito como uma fração imprópria. Ou seja, com denominador 1. Em seguida, proceda conforme descrito acima.
Operações decimais
Adição e subtração
Claro, você sempre pode transformar um decimal em uma fração comum. E agir de acordo com o plano já descrito. Mas às vezes é mais conveniente agir sem essa tradução. Então as regras para somar e subtrair serão exatamente as mesmas.
- Equaliza o número de dígitos na parte fracionária do número, ou seja, após o ponto decimal. Atribua o número de zeros ausente nele.
- Escreva frações de modo que a vírgula fique abaixo da vírgula.
- Adicione (subtraia) como números naturais.
- Retire a vírgula.
Multiplicação e divisão
É importante que você não adicione zeros aqui. As frações devem ser deixadas como são dadas no exemplo. E então vá de acordo com o plano.
- Para multiplicação, escreva as frações uma abaixo da outra, ignorando as vírgulas.
- Multiplica números naturais iguais.
- Coloque uma vírgula na resposta, contando a partir da extremidade direita da resposta quantos dígitos houver nas partes fracionárias de ambos os fatores.
- Para dividir, você deve primeiro converter o divisor: torná-lo um número natural. Ou seja, multiplique por 10, 100, etc., dependendo de quantos dígitos estão na parte fracionária do divisor.
- Multiplique o dividendo pelo mesmo número.
- Divida um decimal por um número natural.
- Coloque uma vírgula na resposta no momento em que a divisão da parte inteira terminar.
E se houver ambos os tipos de frações em um exemplo?
Sim, em matemática muitas vezes há exemplos em que você precisa realizar operações em frações ordinárias e decimais. Há duas soluções possíveis para esses problemas. Você precisa pesar os números objetivamente e escolher o melhor.
Primeira forma: representa decimais comuns
É adequado se a divisão ou conversão resultar em frações finitas. Se pelo menos um número fornecer uma parte periódica, essa técnica é proibida. Portanto, mesmo que você não goste de trabalhar com frações ordinárias, terá que contá-las.
Segunda maneira: escrever frações decimais como frações comuns
Esta técnica é conveniente se houver 1-2 dígitos após o ponto decimal. Se houver mais deles, uma fração comum muito grande pode resultar e as entradas decimais permitirão que você calcule a tarefa com mais rapidez e facilidade. Portanto, você deve sempre avaliar a tarefa com sobriedade e escolher o método de solução mais simples.
