Qual é a bissetriz de um triângulo? A essa pergunta, um conhecido ditado irrompe da língua de algumas pessoas: "Isto é um rato correndo pelas esquinas e dividindo a esquina ao meio". Se a resposta for "com humor", talvez esteja correta. Mas, do ponto de vista científico, a resposta a essa pergunta deveria soar mais ou menos assim: "Este é um raio que começa no topo do canto e o divide em duas partes iguais". Na geometria, essa figura também é percebida como um segmento da bissetriz até cruzar com o lado oposto do triângulo. Esta não é uma opinião errônea. O que mais se sabe sobre a bissetriz do ângulo, além de sua definição?
Como qualquer locus de pontos, possui características próprias. O primeiro deles não é nem mesmo um sinal, mas um teorema que pode ser expresso brevemente da seguinte forma: "Se a bissetriz divide o lado oposto em duas partes, então sua razão corresponderá à razão dos lados do grandetriângulo".
A segunda propriedade que tem: o ponto de interseção das bissetrizes de todos os ângulos é chamado de incentro.
Terceiro sinal: as bissetrizes de um ângulo interno e dois ângulos externos de um triângulo se cruzam no centro de um dos três círculos nele inscritos.
A quarta propriedade da bissetriz de um triângulo é que se cada uma delas for igual, então a última é isósceles.
O quinto signo também diz respeito a um triângulo isósceles e é a principal diretriz para seu reconhecimento no desenho por bissetrizes, a saber: em um triângulo isósceles, ele atua simultaneamente como mediana e altura.
A bissetriz de um ângulo pode ser construída usando um compasso e uma régua:
A sexta regra diz que é impossível construir um triângulo usando este último apenas com as mediatrizes disponíveis, assim como é impossível construir uma duplicação de um cubo, um quadrado de um círculo e uma trissecção de um ângulo desta maneira. Estritamente falando, essas são todas as propriedades da bissetriz do ângulo de um triângulo.
Se você ler atentamente o parágrafo anterior, talvez esteja interessado em uma frase. "O que é a trissecção de um ângulo?" - você certamente vai perguntar. A trissetriz é um pouco semelhante à bissetriz, mas se você desenhar a última, o ângulo será dividido em duas partes iguais e, ao construir uma trisseção, emtrês. Naturalmente, a bissetriz de um ângulo é mais fácil de lembrar, porque a trissecção não é ensinada na escola. Mas por uma questão de completude, vou falar sobre ela.
Um trissetor, como eu disse, não pode ser construído apenas com um compasso e uma régua, mas pode ser criado usando as regras de Fujita e algumas curvas: caracóis de Pascal, quadratrizes, concóides de Nicomedes, seções cônicas, espirais de Arquimedes.
Problemas na trissecção de um ângulo são resolvidos de forma bastante simples usando nevsis.
Em geometria existe um teorema sobre trissetrizes de ângulos. É chamado de teorema de Morley (Morley). Ela afirma que os pontos de interseção das trissetrizes do ponto médio de cada ângulo serão os vértices de um triângulo equilátero.
Um pequeno triângulo preto dentro de um grande sempre será equilátero. Este teorema foi descoberto pelo cientista britânico Frank Morley em 1904.
Aqui está tudo o que há para aprender sobre a divisão de um ângulo: a trissetriz e a bissetriz de um ângulo sempre requerem explicações detalhadas. Mas aqui foram dadas muitas definições que ainda não foram divulgadas por mim: caracol de Pascal, conchoide de Nicomedes, etc. Não se engane, mais pode ser escrito sobre eles.
