Um quadrado tão incrível e familiar. É simétrico em torno de seu centro e eixos desenhados ao longo das diagonais e pelos centros dos lados. E procurar a área de um quadrado ou seu volume não é nada difícil. Especialmente se o comprimento de seu lado for conhecido.
Algumas palavras sobre a figura e suas propriedades
As duas primeiras propriedades estão relacionadas à definição. Todos os lados da figura são iguais entre si. Afinal, um quadrado é um quadrilátero regular. Além disso, deve ter todos os lados iguais e os ângulos têm o mesmo valor, ou seja, 90 graus. Esta é a segunda propriedade.
O terceiro está relacionado ao comprimento das diagonais. Eles também acabam por ser iguais entre si. Além disso, eles se cruzam em ângulos retos e nos pontos médios.
Fórmula usando apenas o comprimento do lado
Primeiro, sobre a notação. Para o comprimento da lateral, costuma-se escolher a letra "a". Então a área quadrada é calculada pela fórmula: S=a2.
É facilmente obtido a partir daquele conhecido pelo retângulo. Nele, o comprimento e a largura são multiplicados. Para um quadrado, esses dois elementos são iguais. Portanto, na fórmulao quadrado deste valor aparece.
Fórmula na qual o comprimento da diagonal aparece
É a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são os lados da figura. Portanto, você pode usar a fórmula do teorema de Pitágoras e derivar uma igualdade na qual o lado é expresso pela diagonal.
Após essas transformações simples, obtemos que a área do quadrado através da diagonal é calculada pela seguinte fórmula:
S=d2 / 2. Aqui a letra d denota a diagonal do quadrado.
Fórmula do perímetro
Em tal situação, é necessário expressar o lado que passa pelo perímetro e substituí-lo na fórmula da área. Como a figura tem quatro lados idênticos, o perímetro terá que ser dividido por 4. Este será o valor do lado, que pode então ser substituído no inicial e calcular a área do quadrado.
A fórmula geral se parece com isso: S=(Р/4)2.
Problemas para cálculos
1. Há um quadrado. A soma de seus dois lados é 12 cm. Calcule a área do quadrado e seu perímetro.
Decisão. Como a soma de dois lados é dada, precisamos encontrar o comprimento de um. Como eles são iguais, o número conhecido só precisa ser dividido por dois. Ou seja, o lado desta figura é 6 cm.
Então seu perímetro e área são facilmente calculados usando as fórmulas acima. O primeiro tem 24cm e o segundo tem 36cm2.
Resposta. O perímetro de um quadrado é 24 cm e sua área é 36 cm2.
2. Encontre a área de um quadrado com perímetro de 32 mm.
Decisão. Basta substituir o valor do perímetro na fórmula escrita acima. Embora você possa descobrir primeiro o lado do quadrado, e só então sua área.
Em ambos os casos, as ações incluirão primeiro a divisão e depois a exponenciação. Cálculos simples levam ao fato de que a área do quadrado representado é 64 mm2.
Resposta. A área desejada é 64 mm2.
3. O lado do quadrado mede 4 dm. Tamanhos de retângulo: 2 e 6 dm. Qual das duas figuras tem a maior área? Quanto?
Decisão. Deixe o lado do quadrado ser marcado com a letra a1, então o comprimento e a largura do retângulo são a2 e 2 . Para determinar a área de um quadrado, o valor de a1 deve ser elevado ao quadrado, e o valor de um retângulo deve ser multiplicado por a2e 2 . É fácil.
Acontece que a área de um quadrado é 16 dm2, e um retângulo é 12 dm2. Obviamente, a primeira figura é maior que a segunda. Isso apesar de serem iguais, ou seja, terem o mesmo perímetro. Para verificar, você pode contar os perímetros. No quadrado, o lado deve ser multiplicado por 4, você obtém 16 dm. Some os lados do retângulo e multiplique por 2. Será o mesmo número.
No problema, você também precisa responder o quanto as áreas diferem. Para fazer isso, subtraia o número menor do número maior. A diferença acaba sendo 4 dm2.
Resposta. As áreas são 16 dm2 e 12 dm2. O quadrado tem 4 dm a mais2.
Problema de prova
Condição. Um quadrado é construído sobre o cateto de um triângulo retângulo isósceles. Uma altitude é construída até sua hipotenusa, sobre a qual outro quadrado é construído. Prove que a área do primeiro é o dobro do segundo.
Decisão. Vamos introduzir a notação. Seja o cateto igual a a, e a altura desenhada para a hipotenusa seja x. A área do primeiro quadrado é S1, o segundo quadrado é S2.
A área do quadrado construído na perna é fácil de calcular. Acontece que é igual a a2. Com o segundo valor, as coisas não são tão simples.
Primeiro você precisa descobrir o comprimento da hipotenusa. Para isso, a fórmula do teorema de Pitágoras é útil. Transformações simples levam a esta expressão: a√2.
Como a altura em um triângulo isósceles desenhado para a base também é a mediana e a altura, ela divide o triângulo grande em dois triângulos retângulos isósceles iguais. Portanto, a altura é metade da hipotenusa. Ou seja, x \u003d (a √ 2) / 2. A partir daqui é fácil descobrir a área S2. É igual a a2/2.
Obviamente, os valores registrados diferem exatamente por um fator de dois. E o segundo é muito menos. Conforme necessário para provar.
Quebra-cabeça incomum - tangram
É feito de um quadrado. Deve ser cortado em várias formas de acordo com certas regras. O total de partes deve ser 7.
As regras assumem que durante o jogo todas as partes resultantes serão usadas. Destes, você precisa fazer outras formas geométricas. Por exemplo,retângulo, trapézio ou paralelogramo.
Mas é ainda mais interessante quando as peças se transformam em silhuetas de animais ou objetos. Além disso, verifica-se que a área de todas as figuras derivadas é igual à do quadrado inicial.
