Para muitas pessoas, a análise matemática é apenas um conjunto de números, ícones e definições incompreensíveis que estão longe da vida real. No entanto, o mundo em que existimos é construído sobre padrões numéricos, cuja identificação ajuda não apenas a aprender sobre o mundo ao nosso redor e a resolver seus problemas complexos, mas também a simplificar as tarefas práticas cotidianas. O que um matemático quer dizer quando diz que uma sequência numérica converge? Isso deve ser discutido com mais detalhes.
O que é um infinitesimal?
Vamos imaginar bonecas matryoshka que cabem uma dentro da outra. Seus tamanhos, escritos na forma de números, começando com o maior e terminando com o menor deles, formam uma sequência. Se você imaginar um número infinito de figuras tão brilhantes, a linha resultante será fantasticamente longa. Esta é uma sequência numérica convergente. E tende a zero, já que o tamanho de cada boneca subsequente, diminuindo catastroficamente, gradualmente se transforma em nada. Então é fácilpode ser explicado: o que é infinitesimal.
Um exemplo semelhante seria uma estrada que leva à distância. E as dimensões visuais do carro se afastando do observador ao longo dele, diminuindo gradualmente, se transformam em uma mancha disforme semelhante a um ponto. Assim, a máquina, como um objeto, se afastando em uma direção desconhecida, torna-se infinitamente pequena. Os parâmetros do corpo especificado nunca serão zero no sentido literal da palavra, mas invariavelmente tenderão a esse valor no limite final. Portanto, esta sequência converge novamente para zero.
Calcule tudo gota a gota
Vamos imaginar agora uma situação mundana. O médico receitou ao paciente que tomasse o remédio, começando com dez gotas por dia e acrescentando duas no dia seguinte. E assim o médico sugeriu continuar até que o conteúdo do frasco do remédio, cujo volume é de 190 gotas, se esgote. Decorre do exposto que o número de tais, agendado por dia, será a seguinte série numérica: 10, 12, 14 e assim por diante.
Como saber o tempo para completar todo o curso e o número de membros da sequência? Aqui, é claro, pode-se contar as gotas de maneira primitiva. Mas é muito mais fácil, dado o padrão, usar a fórmula para a soma de uma progressão aritmética com um passo d=2. E usando esse método, descubra que o número de membros da série numérica é 10. Nesse caso, a10=28. O número do pênis indica o número de dias de uso do medicamento e 28 corresponde ao número de gotas que o paciente deveusar no último dia. Essa sequência converge? Não, porque apesar de ser limitada a 10 por baixo e 28 por cima, tal série numérica não tem limite, ao contrário dos exemplos anteriores.
Qual é a diferença?
Vamos agora tentar esclarecer: quando a série numérica acaba por ser uma sequência convergente. Uma definição desse tipo, como se pode concluir do exposto, está diretamente relacionada ao conceito de limite finito, cuja presença revela a essência da questão. Então, qual é a diferença fundamental entre os exemplos dados anteriormente? E por que no último deles, o número 28 não pode ser considerado o limite da série numérica X =10 + 2(n-1)?
Para esclarecer esta questão, considere outra sequência dada pela fórmula abaixo, onde n pertence ao conjunto dos números naturais.
Esta comunidade de membros é um conjunto de frações comuns, cujo numerador é 1, e o denominador está aumentando constantemente: 1, ½ …
Além disso, cada representante sucessivo desta série se aproxima cada vez mais de 0 em termos de localização na reta numérica, e isso significa que tal vizinhança aparece onde os pontos se agrupam em torno de zero, que é o limite. E quanto mais perto eles estão disso, mais densa se torna sua concentração na linha numérica. E a distância entre eles é catastroficamente reduzida, tornando-se infinitesimal. Este é um sinal de que a sequência está convergindo.
SemelhanteAssim, os retângulos multicoloridos mostrados na figura, ao se afastarem no espaço, ficam visualmente mais cheios, no limite hipotético tornando-se insignificantes.
Sequências infinitamente grandes
Tendo analisado a definição de uma sequência convergente, passemos aos contra-exemplos. Muitos deles são conhecidos pelo homem desde os tempos antigos. As variantes mais simples de sequências divergentes são as séries de números naturais e pares. Eles são chamados de infinitamente grandes de uma maneira diferente, pois seus membros, em constante crescimento, estão cada vez mais se aproximando do infinito positivo.
Um exemplo disso também pode ser qualquer uma das progressões aritméticas e geométricas com passo e denominador, respectivamente, maiores que zero. Além disso, as séries numéricas são consideradas sequências divergentes, que não possuem limite algum. Por exemplo, X =(-2) -1.
Sequência de Fibonacci
Os benefícios práticos das séries numéricas mencionadas anteriormente para a humanidade são inegáveis. Mas existem inúmeros outros grandes exemplos. Uma delas é a sequência de Fibonacci. Cada um de seus membros, que começam com um, é a soma dos anteriores. Seus dois primeiros representantes são 1 e 1. O terceiro 1+1=2, o quarto 1+2=3, o quinto 2+3=5. Além disso, de acordo com a mesma lógica, seguem os números 8, 13, 21 e assim por diante.
Esta série de números aumenta indefinidamente e não temlimite definitivo. Mas tem outra propriedade maravilhosa. A razão de cada número anterior para o próximo está se aproximando cada vez mais em seu valor de 0,618. Aqui você pode entender a diferença entre uma sequência convergente e divergente, pois se você fizer uma série de divisões parciais recebidas, o sistema numérico indicado tem um limite finito igual a 0,618.
Sequência de razões de Fibonacci
A série numérica indicada acima é amplamente utilizada para fins práticos de análise técnica de mercados. Mas isso não se limita às suas capacidades, que os egípcios e gregos conheciam e puderam colocar em prática nos tempos antigos. Isso é comprovado pelas pirâmides que eles construíram e pelo Parthenon. Afinal, o número 0,618 é um coeficiente constante da seção áurea, bem conhecido antigamente. De acordo com essa regra, qualquer segmento arbitrário pode ser dividido de modo que a razão entre suas partes coincida com a razão entre o maior dos segmentos e o comprimento total.
Vamos construir uma série das relações indicadas e tentar analisar esta sequência. A série numérica será a seguinte: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0, 619 e assim por diante. Continuando desta forma, podemos ter certeza de que o limite da sequência convergente será de fato 0,618, porém é necessário observar outras propriedades desta regularidade. Aqui os números parecem ir aleatoriamente, e não em ordem crescente ou decrescente. Isso significa que essa sequência convergente não é monótona. Por que isso é assim será discutido mais adiante.
Monotonicidade e limitação
Os membros da série numérica podem diminuir claramente com o aumento do número (se x1>x2>x3>…>x >…) ou crescente (se x1<x2<x3<…<x <…). Nesse caso, diz-se que a sequência é estritamente monotônica. Outros padrões também podem ser observados, onde a série numérica será não decrescente e não crescente (x1≧x2≧x 3≧ …≧x ≧… ou x1≦x2≦x 3 ≦…≦x ≦…), então a sucessivamente convergente também é monotônica, só que não no sentido estrito. Um bom exemplo da primeira dessas opções é a série numérica dada pela fórmula a seguir.
Tendo pintado os números desta série, você pode ver que qualquer um de seus membros, aproximando-se indefinidamente de 1, nunca excederá esse valor. Neste caso, diz-se que a sequência convergente é limitada. Isso acontece sempre que existe um número M positivo, que é sempre maior que qualquer um dos termos do módulo da série. Se uma série numérica tem sinais de monotonicidade e tem um limite e, portanto, converge, ela é necessariamente dotada de tal propriedade. E o oposto não precisa ser verdade. Isso é evidenciado pelo teorema da limitação para uma sequência convergente.
A aplicação de tais observações na prática é muito útil. Vamos dar um exemplo específico examinando as propriedades da sequência X =n/n+1, e prove sua convergência. É fácil mostrar que é monótono, pois (x +1 – x) é um número positivo para quaisquer n valores. O limite da sequência é igual ao número 1, o que significa que todas as condições do teorema acima, também chamado de teorema de Weierstrass, são satisfeitas. O teorema sobre a limitação de uma sequência convergente afirma que, se ela tem um limite, então, em qualquer caso, ela é limitada. No entanto, tomemos o seguinte exemplo. A série numérica X =(-1) é limitada de baixo por -1 e de cima por 1. Mas esta sequência não é monotônica, não tem limite e, portanto, não converge. Ou seja, a existência de um limite e a convergência nem sempre decorrem da limitação. Para que isso funcione, os limites inferior e superior devem corresponder, como no caso das proporções de Fibonacci.
Números e leis do Universo
As variantes mais simples de uma sequência convergente e divergente são talvez a série numérica X =ne X =1/n. O primeiro deles é uma série natural de números. É, como já mencionado, infinitamente grande. A segunda sequência convergente é limitada e seus termos são próximos de uma magnitude infinitesimal. Cada uma dessas fórmulas personifica um dos lados do Universo multifacetado, ajudando a pessoa a imaginar e calcular algo incognoscível, inacessível à percepção limitada na linguagem dos números e sinais.
As leis do universo, variando de insignificantes a incrivelmente grandes, também expressam a proporção áurea de 0,618. Cientistaseles acreditam que é a base da essência das coisas e é usado pela natureza para formar suas partes. As relações entre os membros seguintes e os anteriores da série de Fibonacci, que já mencionamos, não completam a demonstração das incríveis propriedades desta série única. Se considerarmos o quociente da divisão do termo anterior pelo próximo por um, obtemos uma série de 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0, 382 e assim por diante. É interessante que essa sequência limitada converge, não é monótona, mas a razão dos números vizinhos extremos de um determinado membro sempre é aproximadamente igual a 0,382, o que também pode ser usado em arquitetura, análise técnica e outras indústrias.
Existem outros coeficientes interessantes da série de Fibonacci, todos eles desempenham um papel especial na natureza, e também são usados pelo homem para fins práticos. Os matemáticos têm certeza de que o Universo se desenvolve de acordo com uma certa "espiral dourada", formada a partir dos coeficientes indicados. Com a ajuda deles, é possível calcular muitos fenômenos que ocorrem na Terra e no espaço, desde o crescimento do número de certas bactérias até o movimento de cometas distantes. Como se vê, o código do DNA obedece a leis semelhantes.
Progressão geométrica decrescente
Existe um teorema que afirma a unicidade do limite de uma sequência convergente. Isso significa que não pode ter dois ou mais limites, o que sem dúvida é importante para encontrar suas características matemáticas.
Vamos ver algunscasos. Qualquer série numérica composta por membros de uma progressão aritmética é divergente, exceto no caso de passo zero. O mesmo se aplica a uma progressão geométrica, cujo denominador é maior que 1. Os limites de tais séries numéricas são o “mais” ou “menos” do infinito. Se o denominador for menor que -1, então não há limite. Outras opções são possíveis.
Considere a série numérica dada pela fórmula X =(1/4) -1. À primeira vista, é fácil ver que esta sequência convergente é limitada porque é estritamente decrescente e de forma alguma capaz de assumir valores negativos.
Vamos escrever um número de seus membros em uma linha.
Vai ficar: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0, 00390625 e assim por diante. Cálculos bastante simples são suficientes para entender a rapidez com que essa progressão geométrica diminui a partir dos denominadores 0<q<1. Enquanto o denominador dos termos aumenta indefinidamente, eles próprios se tornam infinitesimais. Isso significa que o limite da série numérica é 0. Este exemplo mais uma vez demonstra a natureza limitada da sequência convergente.
Sequências fundamentais
Augustin Louis Cauchy, um cientista francês, revelou ao mundo muitos trabalhos relacionados à análise matemática. Ele deu definições para conceitos como diferencial, integral, limite e continuidade. Ele também estudou as propriedades básicas de sequências convergentes. Para compreender a essência de suas idéias,alguns detalhes importantes precisam ser resumidos.
No início do artigo, foi mostrado que existem tais sequências para as quais existe uma vizinhança onde os pontos que representam os membros de uma determinada série na reta real começam a se agrupar, alinhando-se cada vez mais densamente. Ao mesmo tempo, a distância entre eles diminui à medida que o número do próximo representante aumenta, tornando-se infinitamente pequeno. Assim, verifica-se que em uma dada vizinhança se agrupa um número infinito de representantes de uma dada série, enquanto fora dela há um número finito deles. Essas sequências são chamadas de fundamentais.
O famoso critério de Cauchy, criado por um matemático francês, indica claramente que a presença de tal propriedade é suficiente para provar que a sequência converge. O inverso também é verdadeiro.
Deve-se notar que esta conclusão do matemático francês é principalmente de interesse puramente teórico. Sua aplicação na prática é considerada um assunto bastante complicado, portanto, para esclarecer a convergência de séries, é muito mais importante provar a existência de um limite finito para uma sequência. Caso contrário, é considerado divergente.
Ao resolver problemas, deve-se levar em conta também as propriedades básicas das sequências convergentes. Eles são mostrados abaixo.
Somas infinitas
Cientistas famosos da antiguidade como Arquimedes, Euclides, Eudoxo usaram as somas de séries de números infinitos para calcular os comprimentos de curvas, volumes de corpose áreas de figuras. Em particular, desta forma foi possível descobrir a área do segmento parabólico. Para isso, foi utilizada a soma das séries numéricas de uma progressão geométrica com q=1/4. Os volumes e áreas de outras figuras arbitrárias foram encontrados de maneira semelhante. Essa opção foi chamada de método de "exaustão". A ideia era que o corpo estudado, de forma complexa, fosse dividido em partes, que eram figuras com parâmetros facilmente mensuráveis. Por isso, não foi difícil calcular suas áreas e volumes, e então somaram.
A propósito, tarefas semelhantes são muito familiares para crianças em idade escolar modernas e são encontradas em tarefas USE. O método único, encontrado por ancestrais distantes, é de longe a solução mais simples. Mesmo que haja apenas duas ou três partes em que a figura numérica é dividida, a soma de suas áreas ainda é a soma da série numérica.
Muito mais tarde que os antigos cientistas gregos Leibniz e Newton, com base na experiência de seus sábios predecessores, aprenderam os padrões de cálculo integral. O conhecimento das propriedades das sequências os ajudou a resolver equações diferenciais e algébricas. Atualmente, a teoria das séries, criada pelos esforços de muitas gerações de cientistas talentosos, oferece a chance de resolver um grande número de problemas matemáticos e práticos. E o estudo de sequências numéricas tem sido o principal problema resolvido pela análise matemática desde seu início.
