O paradoxo de Bertrand é um problema na interpretação clássica da teoria da probabilidade. Joseph o introduziu em seu trabalho Calcul des probabilités (1889) como um exemplo de que probabilidades não podem ser bem definidas se um mecanismo ou método produz uma variável aleatória.
Declaração do problema
O paradoxo de Bertrand é o seguinte.
Primeiro, considere um triângulo equilátero inscrito em um círculo. Neste caso, o diâmetro é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabilidade de que seja maior que o lado do triângulo?
Bertrand apresentou três argumentos, todos os quais parecem estar corretos, mas dão resultados diferentes.
Método de ponto final aleatório
Você precisa selecionar dois lugares no círculo e desenhar um arco conectando-os. Para o cálculo, considera-se o paradoxo da probabilidade de Bertrand. É necessário imaginar que o triângulo é girado de modo que seu vértice coincida com uma das extremidades da corda. Vale a pena pagarnote que se a outra parte está em um arco entre dois lugares, o círculo é maior que o lado do triângulo. O comprimento do arco é um terço do círculo, então a probabilidade de uma corda aleatória ser maior é 1/3.
Método de seleção
É necessário selecionar o raio do círculo e um ponto nele. Depois disso, você precisa construir uma corda por esse local, perpendicular ao diâmetro. Para calcular o paradoxo proposto de Bertrand da teoria das probabilidades, deve-se imaginar que o triângulo é girado de modo que o lado seja perpendicular ao raio. A corda é mais longa que a perna se o ponto selecionado estiver mais próximo do centro do círculo. E neste caso, o lado do triângulo bissecta o raio. Portanto, a probabilidade de a corda ser maior que o lado da figura inscrita é 1/2.
Acordes aleatórios
Método do ponto médio. É necessário escolher um lugar no círculo e criar um acorde com um determinado meio. O eixo é maior que a borda do triângulo inscrito, se o local selecionado estiver dentro de um círculo concêntrico de raio 1/2. A área do círculo menor é um quarto da figura maior. Portanto, a probabilidade de uma corda aleatória é maior que o lado do triângulo inscrito e é igual a 1/4.
Como apresentado acima, os métodos de seleção diferem no peso que dão a certas cordas, que são diâmetros. No método 1, cada corda pode ser selecionada exatamente de uma maneira, seja ou não um diâmetro.
No método 2, cada linha reta pode ser selecionada de duas maneiras. Considerando que qualquer outro acorde será escolhidoapenas uma das possibilidades.
No método 3, cada seleção de ponto médio tem um único parâmetro. Exceto pelo centro do círculo, que é o ponto médio de todos os diâmetros. Esses problemas podem ser evitados "ordenando" todas as perguntas para excluir parâmetros sem afetar as probabilidades resultantes.
Os métodos Select também podem ser visualizados da seguinte forma. Uma corda que não é um diâmetro é identificada exclusivamente pelo seu ponto médio. Cada um dos três métodos de seleção apresentados acima produz uma distribuição diferente do meio. E as opções 1 e 2 fornecem duas partições não uniformes diferentes, enquanto o método 3 fornece uma distribuição uniforme.
O clássico paradoxo de resolver o problema de Bertrand depende do método pelo qual o acorde é escolhido "ao acaso". Acontece que se um método de seleção aleatória é especificado antecipadamente, o problema tem uma solução bem definida. Isso ocorre porque cada método individual tem sua própria distribuição de acordes. As três decisões apresentadas por Bertrand correspondem a diferentes modos de seleção e, na ausência de mais informações, não há razão para favorecer uma sobre a outra. Assim, o problema declarado não tem uma única solução.
Um exemplo de como tornar uma resposta geral única é especificar que as extremidades da corda são espaçadas uniformemente entre 0 e c, onde c é a circunferência do círculo. Esta distribuição é a mesma do primeiro argumento de Bertrand e a probabilidade única resultante será 1/3.
Este paradoxo de Bertrand Russell e outras singularidades do clássicointerpretações de possibilidade justificam formulações mais rigorosas. Incluindo frequência de probabilidade e teoria bayesiana subjetivista.
O que está por trás do paradoxo de Bertrand
Em seu artigo de 1973 "The Well-posed Problem", Edwin Jaynes ofereceu sua solução única. Ele observou que o paradoxo de Bertrand é baseado em uma premissa baseada no princípio da "máxima ignorância". Isso significa que você não deve usar nenhuma informação que não seja fornecida na declaração do problema. Jaynes apontou que o problema de Bertrand não determina a posição ou o tamanho do círculo. E argumentou que, portanto, qualquer decisão definitiva e objetiva deve ser "indiferente" ao tamanho e à posição.
Para fins de ilustração
Supondo que todos os acordes sejam colocados aleatoriamente em um círculo de 2 cm, agora você precisa jogar canudos nele de longe.
Então você precisa pegar outro círculo com um diâmetro menor (por exemplo, 1 centímetro), que se encaixa em uma figura maior. Então a distribuição das cordas neste círculo menor deve ser a mesma que no círculo máximo. Se a segunda figura também se mover dentro da primeira, a probabilidade, em princípio, não deve mudar. É muito fácil ver que para o método 3 ocorrerá a seguinte mudança: a distribuição das cordas no pequeno círculo vermelho será qualitativamente diferente da distribuição no grande círculo.
O mesmo acontece para o método 1. Embora seja mais difícil de ver na visualização gráfica.
Método 2 é o únicoque acaba sendo uma escala e uma invariante de tradução.
O método número 3 parece ser simplesmente extensível.
Método 1 não é nenhum.
No entanto, Janes não usou invariantes facilmente para aceitar ou rejeitar esses métodos. Isso deixaria a possibilidade de que haja outro método não descrito que se encaixe em seus aspectos de significado razoável. Jaynes aplicou equações integrais descrevendo invariâncias. Para determinar diretamente a distribuição de probabilidade. Em seu problema, as equações integrais realmente têm uma solução única, e isso é exatamente o que foi chamado de segundo método de raio aleatório acima.
Em um artigo de 2015, Alon Drory argumenta que o princípio de Jaynes também pode produzir duas outras soluções de Bertrand. O autor assegura que a implementação matemática das propriedades de invariância acima não é única, mas depende do procedimento básico de seleção aleatória que uma pessoa decide usar. Ele mostra que cada uma das três soluções de Bertrand pode ser obtida usando invariância rotacional, de escala e translacional. Ao mesmo tempo, concluindo que o princípio de Jaynes é tão sujeito à interpretação quanto o próprio modo de indiferença.
Experiências físicas
Método 2 é a única solução que satisfaz as invariantes de transformação presentes em conceitos fisiológicos específicos como mecânica estatística e estrutura de gases. Também na propostaExperiência de Janes de jogar canudos de um pequeno círculo.
No entanto, outros experimentos práticos podem ser projetados para fornecer respostas de acordo com outros métodos. Por exemplo, para chegar a uma solução para o primeiro método de endpoint aleatório, você pode anexar um contador ao centro da área. E deixe que os resultados de duas rotações independentes destaquem as posições finais do acorde. Para chegar a uma solução para o terceiro método, pode-se cobrir o círculo com melaço, por exemplo, e marcar o primeiro ponto em que a mosca pousa como a corda do meio. Vários contempladores criaram estudos para tirar diferentes conclusões e confirmaram os resultados empiricamente.
Últimos eventos
Em seu artigo de 2007 "O Paradoxo de Bertrand e o Princípio da Indiferença", Nicholas Shackel argumenta que mais de um século depois, o problema ainda permanece sem solução. Ela continua refutando o princípio da indiferença. Além disso, em seu artigo de 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical", Darrell R. Robottom mostra que todas as decisões propostas não têm nada a ver com sua própria pergunta. Então descobriu-se que o paradoxo seria muito mais difícil de resolver do que se pensava anteriormente.
Shackel enfatiza que até agora muitos cientistas e pessoas distantes da ciência tentaram resolver o paradoxo de Bertrand. Ainda é superado com a ajuda de duas abordagens diferentes.
Aqueles em que foi considerada a diferença entre problemas não equivalentes e aqueles em que o problema foi sempre considerado correto. Shackel cita Louis em seus livrosMarinoff (como expoente típico da estratégia de diferenciação) e Edwin Jaynes (como autor de uma teoria bem pensada).
No entanto, em seu recente trabalho Solving a Complex Problem, Diederik Aerts e Massimiliano Sassoli de Bianchi acreditam que, para resolver o paradoxo de Bertrand, as premissas devem ser buscadas em uma estratégia mista. Segundo esses autores, o primeiro passo é corrigir o problema, declarando claramente a natureza da entidade que está sendo randomizada. E somente depois que isso for feito, qualquer problema pode ser considerado correto. Isso é o que Janes pensa.
Então o princípio da ignorância máxima pode ser usado para resolvê-lo. Para isso, e como o problema não especifica como um acorde deve ser escolhido, o princípio é aplicado não ao nível das várias possibilidades, mas a um nível muito mais profundo.
Seleção de peças
Esta parte do problema requer o cálculo de uma meta-média sobre todas as formas possíveis, que os autores chamam de média universal. Para lidar com isso, eles usam o método de discretização. Inspirado no que está sendo feito na definição da lei da probabilidade nos processos de Wiener. Seu resultado é consistente com o corolário numérico de Jaynes, embora seu problema bem colocado seja diferente do do autor original.
Em economia e comércio, o Bertrand Paradox, batizado em homenagem ao seu criador Joseph Bertrand, descreve uma situação em que dois atores (empresas) atingem um equilíbrio de Nash. Quando ambas as empresas fixam um preço igual ao custo marginal(MS).
O paradoxo de Bertrand é baseado em uma premissa. Está no fato de que em modelos como a concorrência de Cournot, um aumento no número de firmas está associado à convergência de preços com custos marginais. Nesses modelos alternativos, o paradoxo de Bertrand está em um oligopólio de um pequeno número de empresas que obtêm lucros positivos cobrando preços acima do custo.
Para começar, vale supor que duas empresas A e B vendem um produto homogêneo, cada uma com o mesmo custo de produção e distribuição. Segue-se que os compradores escolhem um produto apenas com base no preço. Isso significa que a demanda é infinitamente elástica ao preço. Nem A nem B estabelecerão um preço mais alto do que os outros, porque isso faria com que todo o paradoxo de Bertrand desmoronasse. Um dos participantes do mercado cederá ao seu concorrente. Se fixarem o mesmo preço, as empresas dividirão os lucros.
Por outro lado, se qualquer empresa baixar seu preço, mesmo que ligeiramente, obterá todo o mercado e um retorno significativamente maior. Como A e B sabem disso, cada um deles tentará minar o concorrente até que o produto seja vendido com lucro econômico zero.
Trabalhos recentes mostraram que pode haver um equilíbrio adicional no paradoxo da estratégia mista de Bertrand, com lucros econômicos positivos, desde que a soma do monopólio seja infinita. Para o caso do lucro final, foi demonstrado que um aumento positivo sob concorrência de preços é impossível em equilíbrios mistos e mesmo no caso mais geralsistemas correlacionados.
Na verdade, o paradoxo de Bertrand na economia raramente é visto na prática, porque os produtos reais quase sempre são diferenciados de alguma forma além do preço (por exemplo, pagar a mais por um rótulo). As empresas têm limites em sua capacidade de produzir e distribuir. É por isso que duas empresas raramente têm os mesmos custos.
O resultado de Bertrand é paradoxal, pois se o número de firmas aumenta de uma para duas, o preço cai de monopólio para competitivo e permanece no mesmo nível do número de firmas que aumentam a partir de então. Isso não é muito realista, pois, na realidade, mercados com poucas empresas com poder de mercado tendem a cobrar preços acima do custo marginal. A análise empírica mostra que a maioria das indústrias com dois concorrentes gera lucros positivos.
No mundo moderno, os cientistas estão tentando encontrar soluções para o paradoxo que sejam mais consistentes com o modelo de competição de Cournot. Onde duas empresas em um mercado estão obtendo lucros positivos que estão em algum lugar entre os níveis de concorrência perfeita e de monopólio.
Algumas razões pelas quais o paradoxo de Bertrand não está diretamente relacionado à economia:
- Limites de capacidade. Às vezes, as empresas não têm capacidade suficiente para atender a toda a demanda. Este ponto foi levantado pela primeira vez por Francis Edgeworth e deu origem ao modelo Bertrand-Edgeworth.
- Preços inteiros. Preços acima do MC são excluídos porque uma empresa pode prejudicar outra aleatoriamente.uma pequena quantidade. Se os preços forem discretos (por exemplo, eles devem assumir valores inteiros), então uma empresa deve reduzir o preço da outra em pelo menos um rublo. Isso implica que o valor da pequena moeda está acima do MC. Se outra firma aumentar o preço, outra firma pode baixá-lo e conquistar todo o mercado, o paradoxo de Bertrand consiste justamente nisso. Não lhe trará nenhum lucro. Esse negócio preferirá dividir as vendas 50/50 com outra empresa e receber uma receita puramente positiva.
- Diferenciação de produtos. Se os produtos de diferentes empresas forem diferentes, os consumidores podem não mudar completamente para produtos com preço mais baixo.
- Competição dinâmica. Interação repetida ou competição de preços repetida pode levar a um equilíbrio de valor.
- Mais itens por um valor maior. Isso decorre da interação repetida. Se uma empresa definir seu preço um pouco mais alto, ainda obterá aproximadamente o mesmo número de compras, mas mais lucro por item. Portanto, a outra empresa aumentará seu markup, etc. (Somente em replays, caso contrário a dinâmica vai na outra direção).
Oligopólio
Se duas empresas podem chegar a um acordo sobre um preço, é de seu interesse a longo prazo manter o acordo: a receita de redução de valor é menos do que o dobro da receita do cumprimento do acordo e dura apenas até que a outra empresa corte seu preços próprios.
Teoriaprobabilidades (como o resto da matemática) é na verdade uma invenção recente. E o desenvolvimento não foi tranquilo. As primeiras tentativas de formalizar o cálculo de probabilidade foram feitas pelo Marquês de Laplace, que propôs definir o conceito como a razão do número de eventos que levam a um resultado.
Isso, claro, só faz sentido se o número de todos os eventos possíveis for finito. Além disso, todos os eventos são igualmente prováveis.
Assim, na época, esses conceitos pareciam não ter uma base sólida. As tentativas de estender a definição para o caso de um número infinito de eventos levaram a dificuldades ainda maiores. O paradoxo de Bertrand é uma dessas descobertas que fez os matemáticos desconfiarem de todo o conceito de probabilidade.
