Para determinar o paralelismo e a perpendicularidade dos planos, bem como para calcular as distâncias entre esses objetos geométricos, é conveniente utilizar um ou outro tipo de funções numéricas. Para quais problemas é conveniente usar a equação de um plano em segmentos? Neste artigo, veremos o que é e como usá-lo em tarefas práticas.
O que é uma equação em segmentos de reta?
Um plano pode ser definido no espaço 3D de várias maneiras. Neste artigo, alguns deles serão dados ao resolver problemas de vários tipos. Aqui damos uma descrição detalhada da equação em segmentos do plano. Geralmente tem a seguinte forma:
x/p + y/q + z/r=1.
Onde os símbolos p, q, r denotam alguns números específicos. Esta equação pode ser facilmente traduzida em uma expressão geral e em outras formas de funções numéricas para o plano.
A conveniência de escrever a equação em segmentos está no fato de que ela contém as coordenadas explícitas da interseção do plano com eixos de coordenadas perpendiculares. No eixo xem relação à origem, o plano corta um segmento de comprimento p, no eixo y - igual a q, em z - de comprimento r.
Se alguma das três variáveis não estiver contida na equação, isso significa que o plano não passa pelo eixo correspondente (os matemáticos dizem que ele cruza no infinito).
A seguir, aqui estão alguns problemas nos quais mostraremos como trabalhar com esta equação.
Comunicação do geral e em segmentos de equações
Sabe-se que o plano é dado pela seguinte igualdade:
2x - 3y + z - 6=0.
É necessário escrever esta equação geral do plano em segmentos.
Quando surge um problema semelhante, você precisa seguir esta técnica: transferimos o termo livre para o lado direito da igualdade. Em seguida, dividimos toda a equação por esse termo, tentando expressá-la na forma dada no parágrafo anterior. Temos:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Obtivemos nos segmentos a equação do plano, dada inicialmente de forma geral. Nota-se que o plano corta segmentos com comprimentos de 3, 2 e 6 para os eixos x, y e z, respectivamente. O eixo y intercepta o plano na área de coordenada negativa.
Ao elaborar uma equação em segmentos, é importante que todas as variáveis sejam precedidas de um sinal "+". Somente neste caso, o número pelo qual esta variável é dividida mostrará a coordenada cortada no eixo.
Vetor normal e ponto no plano
Sabe-se que algum plano tem vetor de direção (3; 0; -1). Sabe-se também que passa pelo ponto (1; 1; 1). Para este plano, escreva uma equação em segmentos.
Para resolver este problema, você deve primeiro usar a forma geral para este objeto geométrico bidimensional. A forma geral é escrita como:
Ax + By + Cz + D=0.
Os primeiros três coeficientes aqui são as coordenadas do vetor guia, que é especificado no enunciado do problema, ou seja:
A=3;
B=0;
C=-1.
Resta encontrar o termo livre D. Ele pode ser determinado pela seguinte fórmula:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Onde os valores das coordenadas com índice 1 correspondem às coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Substituímos seus valores da condição do problema, obtemos:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Agora você pode escrever a equação completa:
3x - z - 2=0.
A técnica para converter esta expressão em uma equação em segmentos do plano já foi demonstrada acima. Aplique:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
A resposta para o problema foi recebida. Observe que este plano intercepta apenas os eixos x e z. Para y é paralelo.
Duas retas definindo um plano
No curso de geometria espacial, todo aluno sabe que duas linhas arbitrárias definem exclusivamente um plano emespaço tridimensional. Vamos resolver um problema semelhante.
Duas equações de retas são conhecidas:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
É necessário escrever a equação do plano em segmentos, passando por essas retas.
Como ambas as linhas devem estar no plano, isso significa que seus vetores (guias) devem ser perpendiculares ao vetor (guia) do plano. Ao mesmo tempo, sabe-se que o produto vetorial de dois segmentos direcionados arbitrários dá o resultado na forma de coordenadas do terceiro, perpendicular aos dois originais. Dada esta propriedade, obtemos as coordenadas de um vetor normal ao plano desejado:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Como pode ser multiplicado por um número arbitrário, isso forma um novo segmento direcionado paralelo ao original, podemos substituir o sinal das coordenadas obtidas pelo contrário (multiplicar por -1), obtemos:
(1; 2; 1).
Conhecemos o vetor de direção. Resta tomar um ponto arbitrário de uma das retas e traçar a equação geral do plano:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Traduzindo esta igualdade em uma expressão em segmentos, temos:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Assim, o plano intercepta todos os três eixos na região positiva do sistema de coordenadas.
Três pontos e um plano
Assim como duas linhas retas, três pontos definem um plano de forma única no espaço tridimensional. Escrevemos a equação correspondente em segmentos se as seguintes coordenadas dos pontos situados no plano são conhecidas:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Vamos fazer o seguinte: calcular as coordenadas de dois vetores arbitrários conectando esses pontos, então encontrar o vetor n¯ normal ao plano calculando o produto dos segmentos direcionados encontrados. Obtemos:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Tome o ponto P como exemplo, componha a equação do plano:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 ou z=0.
Temos uma expressão simples que corresponde ao plano xy no sistema de coordenadas retangulares fornecido. Não pode ser escrito em segmentos, pois os eixos xey pertencem ao plano, e o comprimento do segmento cortado no eixo z é zero (o ponto (0; 0; 0) pertence ao plano).
