Projeção de força no eixo e no plano. Física

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Poder é um dos conceitos mais importantes da física. Isso causa uma mudança no estado de qualquer objeto. Neste artigo, consideraremos qual é esse valor, quais forças existem e também mostraremos como encontrar a projeção da força no eixo e no plano.

Poder e seu significado físico

Na física, a força é uma grandeza vetorial que mostra a variação da quantidade de movimento de um corpo por unidade de tempo. Esta definição considera a força como uma característica dinâmica. Do ponto de vista da estática, a força na física é uma medida da deformação elástica ou plástica dos corpos.

O sistema internacional SI expressa a força em newtons (N). O que é 1 newton, a maneira mais fácil de entender o exemplo da segunda lei da mecânica clássica. Sua notação matemática é a seguinte:

F¯=ma¯

Aqui F¯ é alguma força externa agindo sobre um corpo de massa m e resultando em aceleração a¯. A definição quantitativa de um newton segue da fórmula: 1 N é uma força que leva a uma mudança na velocidade de um corpo com massa de 1 kg por 1 m / s a cada segundo.

Exemplos de dinâmicamanifestações de força são a aceleração de um carro ou de um corpo em queda livre no campo gravitacional da Terra.

A manifestação estática da força, como observado, está associada a fenômenos de deformação. As seguintes fórmulas devem ser dadas aqui:

F=PS

F=-kx

A primeira expressão relaciona a força F com a pressão P que ela exerce em alguma área S. Através desta fórmula, 1 N pode ser definido como uma pressão de 1 pascal aplicada a uma área de 1 m 2^{. Por exemplo, uma coluna de ar atmosférico ao nível do mar pressiona um local de 1 m}2^{com uma força de 10}5^N!

A segunda expressão é a forma clássica da lei de Hooke. Por exemplo, esticar ou comprimir uma mola por um valor linear x leva ao surgimento de uma força oposta F (na expressão k é o fator de proporcionalidade).

Quais forças existem

Já foi mostrado acima que as forças podem ser estáticas e dinâmicas. Aqui dizemos que além dessa característica, podem ser forças de contato ou de longo alcance. Por exemplo, força de atrito, reações de suporte são forças de contato. A razão de sua aparição é a validade do princípio de Pauli. Este último afirma que dois elétrons não podem ocupar o mesmo estado. É por isso que o toque de dois átomos leva à sua repulsão.

Forças de longo alcance aparecem como resultado da interação de corpos através de um certo campo portador. Por exemplo, tais são a força da gravidade ou a interação eletromagnética. Ambos os poderes têm um alcance infinito,no entanto, sua intensidade diminui com o quadrado da distância (leis de Coulomb e gravidade).

A potência é uma grandeza vetorial

Tendo tratado do significado da grandeza física considerada, podemos prosseguir com o estudo da questão da projeção da força no eixo. Em primeiro lugar, notamos que essa quantidade é um vetor, ou seja, é caracterizada por um módulo e direção. Mostraremos como calcular o módulo de força e sua direção.

Sabe-se que qualquer vetor pode ser definido de forma única em um determinado sistema de coordenadas se os valores das coordenadas de seu início e fim forem conhecidos. Suponha que exista algum segmento direcionado MN¯. Então sua direção e módulo podem ser determinados usando as seguintes expressões:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Aqui, coordenadas com índices 2 correspondem ao ponto N, aquelas com índices 1 correspondem ao ponto M. O vetor MN¯ é direcionado de M para N.

Por uma questão de generalidade, mostramos como encontrar o módulo e as coordenadas (direção) de um vetor no espaço tridimensional. Fórmulas semelhantes sem a terceira coordenada são válidas para o caso no plano.

Assim, o módulo de força é seu valor absoluto, expresso em newtons. Do ponto de vista da geometria, o módulo é o comprimento do segmento direcionado.

Qual é a projeção da força sobreeixo?

É mais conveniente falar sobre projeções de segmentos direcionados em eixos e planos coordenados se você primeiro colocar o vetor correspondente na origem, ou seja, no ponto (0; 0; 0). Suponha que tenhamos algum vetor força F¯. Vamos colocar seu início no ponto (0; 0; 0), então as coordenadas do vetor podem ser escritas da seguinte forma:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vetor F¯ mostra a direção da força no espaço no sistema de coordenadas dado. Agora vamos desenhar segmentos perpendiculares do final de F¯ para cada um dos eixos. A distância do ponto de interseção da perpendicular com o eixo correspondente até a origem é chamada de projeção da força no eixo. Não é difícil adivinhar que no caso da força F¯, suas projeções nos eixos x, y e z serão x₁, y_{1e z 1}, respectivamente. Observe que essas coordenadas mostram os módulos de projeção de força (o comprimento dos segmentos).

Ângulos entre a força e suas projeções nos eixos coordenados

Calcular esses ângulos não é difícil. Tudo o que é necessário para resolvê-lo é o conhecimento das propriedades das funções trigonométricas e a capacidade de aplicar o teorema de Pitágoras.

Por exemplo, vamos definir o ângulo entre a direção da força e sua projeção no eixo x. O triângulo retângulo correspondente será formado pela hipotenusa (vetor F¯) e cateto (segmento x₁). A segunda perna é a distância da extremidade do vetor F¯ ao eixo x. O ângulo α entre F¯ e o eixo x é calculado pela fórmula:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

Como você pode ver, para determinar o ângulo entre o eixo e o vetor, é necessário e suficiente conhecer as coordenadas do final do segmento direcionado.

Para ângulos com outros eixos (y e z), você pode escrever expressões semelhantes:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Observe que em todas as fórmulas existem módulos nos numeradores, o que elimina a aparência de cantos obtusos. Entre a força e suas projeções axiais, os ângulos são sempre menores ou iguais a 90^o.

Força e suas projeções no plano coordenado

A definição da projeção da força sobre o plano é a mesma que para o eixo, só que neste caso a perpendicular deve ser abaixada não sobre o eixo, mas sobre o plano.

No caso de um sistema de coordenadas retangulares espaciais, temos três planos mutuamente perpendiculares xy (horizontal), yz (vertical frontal), xz (vertical lateral). Os pontos de intersecção das perpendiculares baixadas do final do vetor para os planos nomeados são:

(x₁; y₁; 0) for xy;

(x₁; 0; z₁) for xz;

(0; y₁; z₁) para zy.

Se cada um dos pontos marcados estiver conectado à origem, obtemos a projeção da força F¯ no plano correspondente. Qual é o módulo de força, nós sabemos. Para encontrar o módulo de cada projeção, você precisa aplicar o teorema de Pitágoras. Vamos denotar as projeções no plano como F_xy, F_xz e F_zy. Então as igualdades serão válidas para seus módulos:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Ângulos entre projeções no plano e vetor de força

No parágrafo acima, foram dadas fórmulas para os módulos de projeções sobre o plano do vetor considerado F¯. Essas projeções, juntamente com o segmento F¯ e a distância de sua extremidade ao plano, formam triângulos retângulos. Portanto, como no caso das projeções no eixo, você pode usar a definição de funções trigonométricas para calcular os ângulos em questão. Você pode escrever as seguintes igualdades:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

É importante entender que o ângulo entre a direção da força F¯ e sua projeção correspondente no plano é igual ao ângulo entre F¯ e este plano. Se considerarmos este problema do ponto de vista da geometria, podemos dizer que o segmento direcionado F¯ é inclinado em relação aos planos xy, xz e zy.

Onde as projeções de força são usadas?

As fórmulas acima para projeções de força nos eixos coordenados e no plano não são apenas de interesse teórico. Eles são frequentemente usados na resolução de problemas físicos. O próprio processo de encontrar projeções é chamado de decomposição da força em seus componentes. Estes últimos são vetores, cuja soma deve dar o vetor força original. No caso geral, é possível decompor a força em componentes arbitrários, porém, para resolver problemas, é conveniente usar projeções em eixos e planos perpendiculares.

Problemas onde o conceito de projeção de força é aplicado podem ser muito diferentes. Por exemplo, a mesma segunda lei de Newton assume que a força externa F que atua sobre o corpo deve ser direcionada da mesma forma que o vetor velocidade v. Se suas direções diferem em algum ângulo, então, para que a igualdade permaneça válida, deve-se substituir nela não a própria força F¯, mas sua projeção na direção v¯.

A seguir, daremos alguns exemplos, onde mostraremos como usar ofórmulas.

A tarefa de determinar as projeções de força no plano e nos eixos coordenados

Assuma que existe alguma força F¯, que é representada por um vetor com as seguintes coordenadas inicial e final:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

É necessário determinar o módulo da força, bem como todas as suas projeções nos eixos e planos coordenados, e os ângulos entre F¯ e cada uma de suas projeções.

Vamos começar a resolver o problema calculando as coordenadas do vetor F¯. Temos:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Então o módulo de força será:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projeções nos eixos de coordenadas são iguais às coordenadas correspondentes do vetor F¯. Vamos calcular os ângulos entre eles e a direção F¯. Temos:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Como as coordenadas do vetor F¯ são conhecidas, é possível calcular os módulos de projeção de força no plano de coordenadas. Usando as fórmulas acima, temos:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Finalmente, resta calcular os ângulos entre as projeções encontradas no plano e o vetor força. Temos:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Assim, o vetor F¯ está mais próximo do plano de coordenadas xy.

Problema com barra deslizante em plano inclinado

Agora vamos resolver um problema físico onde será necessário aplicar o conceito de projeção de força. Seja dado um plano inclinado de madeira. O ângulo de sua inclinação para o horizonte é 45^o. Sobre o avião está um bloco de madeira com massa de 3 kg. É necessário determinar com que aceleração esta barra se moverá para baixo no plano se for conhecido que o coeficiente de atrito de deslizamento é 0,7.

Primeiro, vamos fazer a equação do movimento do corpo. Como apenas duas forças atuarão sobre ele (a projeção da gravidade em um plano e a força de atrito), a equação terá a forma:

F_g-F_f=ma=>

a=(F_g-F_f)/m.

Aqui F_g, F_f é a projeção da gravidade e do atrito, respectivamente. Ou seja, a tarefa se reduz a calcular seus valores.

Como o ângulo de inclinação do plano em relação ao horizonte é 45^o, é fácil mostrar que a projeção da gravidade F_gao longo da superfície do plano será igual a:

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Esta projeção de força procura desestabilizarbloco de madeira e dar-lhe aceleração.

De acordo com a definição, a força de atrito de deslizamento é:

F_f=ΜN

Onde Μ=0, 7 (veja a condição do problema). A força de reação do suporte N é igual à projeção da força da gravidade no eixo perpendicular ao plano inclinado, ou seja: