Ao estudar o comportamento dos gases na física, muitas vezes surgem problemas para determinar a energia armazenada neles, que teoricamente pode ser usada para realizar algum trabalho útil. Neste artigo, consideraremos a questão de quais fórmulas podem ser usadas para calcular a energia interna de um gás ideal.
O conceito de um gás ideal
Uma compreensão clara do conceito de gás ideal é importante ao resolver problemas com sistemas neste estado de agregação. Qualquer gás assume a forma e o volume do recipiente em que é colocado, no entanto, nem todo gás é ideal. Por exemplo, o ar pode ser considerado uma mistura de gases ideais, enquanto o vapor de água não é. Qual é a diferença fundamental entre gases reais e seu modelo ideal?
A resposta para a pergunta será as seguintes duas características:
- a razão entre a energia cinética e potencial das moléculas e átomos que compõem o gás;
- relação entre os tamanhos lineares das partículasgás e a distância média entre eles.
Um gás é considerado ideal somente se a energia cinética média de suas partículas for incomensuravelmente maior que a energia de ligação entre elas. A diferença entre essas energias é tal que podemos supor que a interação entre as partículas está completamente ausente. Além disso, um gás ideal é caracterizado pela ausência de dimensões de suas partículas, ou melhor, essas dimensões podem ser ignoradas, pois são muito menores que as distâncias médias entre as partículas.
Um bom critério empírico para determinar a idealidade de um sistema de gás são suas características termodinâmicas, como temperatura e pressão. Se o primeiro for maior que 300 K e o segundo for menor que 1 atmosfera, então qualquer gás pode ser considerado ideal.
Qual é a energia interna de um gás?
Antes de escrever a fórmula da energia interna de um gás ideal, você precisa conhecer mais de perto essa característica.
Em termodinâmica, a energia interna é geralmente denotada pela letra latina U. No caso geral, é determinada pela seguinte fórmula:
U=H - PV
Onde H é a entalpia do sistema, P e V são pressão e volume.
Em seu significado físico, a energia interna consiste em dois componentes: cinética e potencial. O primeiro está associado a vários tipos de movimento das partículas do sistema e o segundo - à interação de forças entre eles. Se aplicarmos essa definição ao conceito de gás ideal, que não possui energia potencial, então o valor de U em qualquer estado do sistema será exatamente igual à sua energia cinética, ou seja:
U=Ek.
Derivação da fórmula da energia interna
Acima, descobrimos que para determiná-lo para um sistema com um gás ideal, é necessário calcular sua energia cinética. Do curso da física geral, sabe-se que a energia de uma partícula de massa m, que se move em uma certa direção com velocidade v, é determinada pela fórmula:
Ek1=mv2/2.
Também pode ser aplicado a partículas de gás (átomos e moléculas), porém algumas observações precisam ser feitas.
Primeiramente, a velocidade v deve ser entendida como algum valor médio. O fato é que as partículas de gás se movem em velocidades diferentes de acordo com a distribuição de Maxwell-Boltzmann. Este último permite determinar a velocidade média, que não muda ao longo do tempo se não houver influências externas no sistema.
Segundo, a fórmula para Ek1 assume energia por grau de liberdade. As partículas de gás podem se mover nas três direções e também girar dependendo de sua estrutura. Para levar em conta o grau de liberdade z, ele deve ser multiplicado por Ek1, ou seja:
Ek1z=z/2mv2.
A energia cinética de todo o sistema Ek é N vezes maior que Ek1z, onde N é o número total de partículas de gás. Então para U temos:
U=z/2Nmv2.
De acordo com esta fórmula, uma mudança na energia interna de um gás só é possível se o número de partículas N for alterado emsistema, ou sua velocidade média v.
Energia interna e temperatura
Aplicando as provisões da teoria cinética molecular de um gás ideal, podemos obter a seguinte fórmula para a relação entre a energia cinética média de uma partícula e a temperatura absoluta:
mv2/2=1/2kBT.
Aqui kB é a constante de Boltzmann. Substituindo essa igualdade na fórmula de U obtida no parágrafo acima, chegamos à seguinte expressão:
U=z/2NkBT.
Esta expressão pode ser reescrita em termos da quantidade de substância n e da constante de gás R da seguinte forma:
U=z/2nR T.
De acordo com esta fórmula, uma mudança na energia interna de um gás é possível se sua temperatura for alterada. Os valores U e T dependem um do outro linearmente, ou seja, o gráfico da função U(T) é uma linha reta.
Como a estrutura de uma partícula de gás afeta a energia interna de um sistema?
A estrutura de uma partícula de gás (molécula) refere-se ao número de átomos que a compõem. Ele desempenha um papel decisivo ao substituir o grau de liberdade correspondente z na fórmula para U. Se o gás for monoatômico, a fórmula para a energia interna do gás se torna:
U=3/2nRT.
De onde veio o valor z=3? Sua aparência está associada a apenas três graus de liberdade que um átomo possui, pois ele só pode se mover em uma das três direções espaciais.
Se um diatômicomolécula de gás, então a energia interna deve ser calculada usando a seguinte fórmula:
U=5/2nRT.
Como você pode ver, uma molécula diatômica já possui 5 graus de liberdade, sendo 3 translacionais e 2 rotacionais (de acordo com a geometria da molécula, ela pode girar em torno de dois eixos perpendiculares entre si).
Finalmente, se o gás for três ou mais atômicos, então a seguinte expressão para U é verdadeira:
U=3nRT.
Moléculas complexas têm 3 graus de liberdade translacionais e 3 rotacionais.
Exemplo de problema
Sob o pistão há um gás monoatômico a uma pressão de 1 atmosfera. Como resultado do aquecimento, o gás se expandiu de modo que seu volume aumentou de 2 litros para 3. Como a energia interna do sistema de gás mudou se o processo de expansão fosse isobárico.
Para resolver este problema, as fórmulas dadas no artigo não são suficientes. É necessário relembrar a equação de estado para um gás ideal. Parece abaixo.
Como o pistão fecha o cilindro com gás, a quantidade de substância n permanece constante durante o processo de expansão. Durante um processo isobárico, a temperatura muda em proporção direta ao volume do sistema (lei de Charles). Isso significa que a fórmula acima seria:
PΔV=nRΔT.
Então a expressão para a energia interna de um gás monoatômico terá a forma:
ΔU=3/2PΔV.
Substituindo nesta equação os valores de variação de pressão e volume em unidades do SI, obtemos a resposta: ΔU ≈ 152 J.
