Se o movimento linear dos corpos é descrito na mecânica clássica usando as leis de Newton, então as características do movimento dos sistemas mecânicos ao longo de trajetórias circulares são calculadas usando uma expressão especial, que é chamada de equação dos momentos. De que momentos estamos falando e qual o significado dessa equação? Essas e outras perguntas são reveladas no artigo.
Momento de força
Todo mundo está bem ciente da força newtoniana, que, agindo sobre o corpo, leva à transmissão de aceleração a ele. Quando tal força é aplicada a um objeto que está fixo em um determinado eixo de rotação, essa característica é geralmente chamada de momento de força. A equação do momento da força pode ser escrita da seguinte forma:
M¯=L¯F¯
A imagem explicando esta expressão é mostrada abaixo.
Aqui você pode ver que a força F¯ é direcionada para o vetor L¯ em um ângulo Φ. O próprio vetor L¯ é assumido como sendo direcionado do eixo de rotação (indicado pela seta) para o ponto de aplicaçãoF¯.
A fórmula acima é um produto de dois vetores, então M¯ também é direcional. Para onde será girado o momento de força M¯? Isso pode ser determinado pela regra da mão direita (quatro dedos são direcionados ao longo da trajetória do final do vetor L¯ até o final de F¯, e o polegar esquerdo indica a direção de M¯).
Na figura acima, a expressão para o momento de força na forma escalar terá a forma:
M=LFsen(Φ)
Se você olhar atentamente para a figura, verá que Lsin(Φ)=d, então temos a fórmula:
M=dF
O valor de d é uma característica importante no cálculo do momento da força, pois reflete a eficácia do F aplicado ao sistema. Esse valor é chamado de alavanca de força.
O significado físico de M está na capacidade da força de girar o sistema. Todos podem sentir essa habilidade se abrirem a porta pela maçaneta, empurrando-a perto das dobradiças, ou se tentarem desapertar a porca com uma chave curta e uma longa.
Equilíbrio do sistema
O conceito de momento de força é muito útil quando se considera o equilíbrio de um sistema que sofre a ação de múltiplas forças e possui um eixo ou ponto de rotação. Nesses casos, aplique a fórmula:
∑iMi¯=0
Ou seja, o sistema estará em equilíbrio se a soma de todos os momentos das forças aplicadas a ele for zero. Observe que nesta fórmula existe um sinal vetorial sobre o momento, ou seja, ao resolver não se deve esquecer de levar em consideração o sinal destequantidades. A regra geralmente aceita é que a força atuante que gira o sistema no sentido anti-horário cria um positivo Mi¯.
Um exemplo marcante de problemas desse tipo são os problemas com o equilíbrio das alavancas de Arquimedes.
Momento de impulso
Esta é outra característica importante do movimento circular. Na física, é descrito como o produto do momento e da alavanca. A equação do momento é assim:
T¯=r¯p¯
Aqui p¯ é o vetor momento, r¯ é o vetor que conecta o ponto de rotação do material com o eixo.
A figura abaixo ilustra esta expressão.
Aqui ω é a velocidade angular, que aparecerá mais adiante na equação do momento. Observe que a direção do vetor T¯ é encontrada pela mesma regra que M¯. Na figura acima, T¯ na direção coincidirá com o vetor velocidade angular ω¯.
O significado físico de T¯ é o mesmo que as características de p¯ no caso do movimento linear, ou seja, o momento angular descreve a quantidade de movimento rotacional (energia cinética armazenada).
Momento de inércia
A terceira característica importante, sem a qual é impossível formular a equação do movimento de um objeto em rotação, é o momento de inércia. Aparece na física como resultado de transformações matemáticas da fórmula do momento angular de um ponto material. Vamos mostrar como é feito.
Vamos imaginar o valorT¯ como segue:
T¯=r¯mv¯, onde p¯=mv¯
Usando a relação entre velocidades angulares e lineares, podemos reescrever esta expressão da seguinte forma:
T¯=r¯mr¯ω¯, onde v¯=r¯ω¯
Escreva a última expressão da seguinte forma:
T¯=r2mω¯
O valor r2m é o momento de inércia I para um ponto de massa m que faz um movimento circular em torno de um eixo a uma distância r dele. Este caso especial nos permite introduzir a equação geral do momento de inércia para um corpo de forma arbitrária:
I=∫m (r2dm)
I é uma quantidade aditiva, cujo significado está na inércia do sistema rotativo. Quanto maior I, mais difícil é girar o corpo, e é preciso um esforço considerável para pará-lo.
Equação do momento
Consideramos três quantidades, cujo nome começa com a palavra "momento". Isso foi feito intencionalmente, já que todos estão conectados em uma expressão, chamada de equação dos 3 momentos. Vamos tirar isso.
Considere a expressão para o momento angular T¯:
T¯=Iω¯
Encontre como o valor de T¯ muda no tempo, temos:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Dado que a derivada da velocidade angular é igual à da velocidade linear dividida por r, e expandindo o valor de I, chegamos à expressão:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, onde a¯=dv¯/dt é a aceleração linear.
Observe que o produto da massa pela aceleração nada mais é do que a força externa atuante F¯. Como resultado, temos:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Chegamos a uma conclusão interessante: a variação do momento angular é igual ao momento da força externa atuante. Esta expressão é geralmente escrita de uma forma ligeiramente diferente:
M¯=Iα¯, onde α¯=dω¯/dt - aceleração angular.
Esta igualdade é chamada de equação dos momentos. Permite calcular qualquer característica de um corpo em rotação, conhecendo os parâmetros do sistema e a magnitude do impacto externo sobre ele.
Lei de conservação T¯
A conclusão obtida no parágrafo anterior indica que se o momento externo das forças for igual a zero, então o momento angular não mudará. Neste caso, escrevemos a expressão:
T¯=const. ou I1ω1¯=I2ω2 ¯
Esta fórmula é chamada de lei de conservação de T¯. Ou seja, quaisquer mudanças dentro do sistema não alteram o momento angular total.
Este fato é usado por patinadores artísticos e bailarinas durante suas apresentações. Também é usado se for necessário girar um satélite artificial movendo-se no espaço em torno de seu eixo.
