Prisma hexagonal e suas principais características

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

A geometria espacial é o estudo dos prismas. Suas características importantes são o volume contido neles, a área de superfície e o número de elementos constituintes. No artigo, consideraremos todas essas propriedades para um prisma hexagonal.

De qual prisma estamos falando?

Um prisma hexagonal é uma figura formada por dois polígonos com seis lados e seis ângulos, e seis paralelogramos conectando os hexágonos marcados em uma única formação geométrica.

A figura mostra um exemplo deste prisma.

O hexágono marcado em vermelho é chamado de base da figura. Obviamente, o número de suas bases é igual a dois, e ambas são idênticas. As faces amarelo-esverdeadas de um prisma são chamadas de lados. Na figura são representados por quadrados, mas em geral são paralelogramos.

O prisma hexagonal pode ser inclinado e reto. No primeiro caso, os ângulos entre a base e os lados não são retos, no segundo são iguais a 90o. Além disso, este prisma pode estar correto e incorreto. hexagonal regularo prisma deve ser reto e ter um hexágono regular na base. O prisma acima na figura atende a esses requisitos, por isso é chamado de correto. Mais adiante no artigo estudaremos apenas suas propriedades, como um caso geral.

Elementos

Para qualquer prisma seus principais elementos são arestas, faces e vértices. O prisma hexagonal não é exceção. A figura acima permite contar o número desses elementos. Assim, obtemos 8 faces ou lados (duas bases e seis paralelogramos laterais), o número de vértices é 12 (6 vértices para cada base), o número de arestas de um prisma hexagonal é 18 (seis laterais e 12 para as bases).

Na década de 1750, Leonhard Euler (um matemático suíço) estabeleceu para todos os poliedros, que incluem um prisma, uma relação matemática entre os números dos elementos indicados. Esta relação se parece com:

número de arestas=número de faces + número de vértices - 2.

Os números acima satisfazem esta fórmula.

Diagonais do Prisma

Todas as diagonais de um prisma hexagonal podem ser divididas em dois tipos:

• aquelas que se encontram nos planos de suas faces;
• aqueles que pertencem a todo o volume da figura.

A imagem abaixo mostra todas essas diagonais.

Pode-se ver que D₁ é a diagonal lateral, D₂ e D₃ são as diagonais do prisma inteiro, D₄ e D_{5 - as diagonais da base.}

Os comprimentos das diagonais dos lados são iguais entre si. É fácil calculá-los usando o bem conhecido teorema de Pitágoras. Seja a o comprimento do lado do hexágono, b o comprimento da aresta lateral. Então a diagonal tem comprimento:

D₁=√(a² + b^2).

Diagonal D₄ também é fácil de determinar. Se lembrarmos que um hexágono regular se encaixa em um círculo de raio a, então D_{4 é o diâmetro desse círculo, ou seja, obtemos a seguinte fórmula:}

D_4=2a.

Diagonal D₅bases são um pouco mais difíceis de encontrar. Para fazer isso, considere um triângulo equilátero ABC (ver Fig.). Para ele AB=BC=a, o ângulo ABC é 120^{o. Se baixarmos a altura deste ângulo (também será a bissetriz e a mediana), então metade da base AC será igual a:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

O lado AC é a diagonal de D_{5, então temos:}

D_5=AC=√3a.

Agora f alta encontrar as diagonais D₂e D_{3de um prisma hexagonal regular. Para fazer isso, você precisa ver que elas são as hipotenusas dos triângulos retângulos correspondentes. Usando o teorema de Pitágoras, temos:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Assim, a maior diagonal para quaisquer valores de a e b éD_2.

Área de superfície

Para entender o que está em jogo, a maneira mais fácil é considerar o desenvolvimento desse prisma. É mostrado na imagem.

Pode-se ver que para determinar a área de todos os lados da figura em consideração, é necessário calcular a área do quadrilátero e a área do hexágono separadamente, depois multiplicá-las pelos inteiros correspondentes iguais ao número de cada n-gon no prisma, e some os resultados. Hexágonos 2, retângulos 6.

Para a área de um retângulo temos:

S_1=ab.

Então a área da superfície lateral é:

S_2=6ab.

Para determinar a área de um hexágono, a maneira mais fácil é usar a fórmula correspondente, que se parece com:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Substituindo o número n igual a 6 nesta expressão, obtemos a área de um hexágono:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Esta expressão deve ser multiplicada por dois para obter a área das bases do prisma:

S_os=3√3a^2.

Resta adicionar S_os e S_{2 para obter a área total da superfície da figura:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Volume Prisma

Depois da fórmula paraárea de uma base hexagonal, calcular o volume contido no prisma em questão é tão fácil quanto descascar peras. Para fazer isso, você só precisa multiplicar a área da base óssea (hexágono) pela altura da figura, cujo comprimento é igual ao comprimento da borda lateral. Obtemos a fórmula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Observe que o produto da base pela altura dá o valor do volume de absolutamente qualquer prisma, incluindo o oblíquo. No entanto, neste último caso, o cálculo da altura é complicado, pois não será mais igual ao comprimento da nervura lateral. Quanto a um prisma hexagonal regular, o valor de seu volume é uma função de duas variáveis: lados a e b.