O que é um prisma reto? Propriedades e fórmulas. Exemplo de tarefa

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2023-12-17 05:39

Estereometria é o estudo das características das formas geométricas tridimensionais. Uma das figuras volumétricas mais conhecidas que aparecem em problemas de geometria é um prisma reto. Vamos considerar neste artigo o que é, e também descrever em detalhes um prisma com uma base triangular.

Prisma e seus tipos

Um prisma é uma figura que se forma como resultado de uma translação paralela de um polígono no espaço. Como resultado dessa operação geométrica, forma-se uma figura, composta por vários paralelogramos e dois polígonos idênticos paralelos entre si. Os paralelogramos são os lados do prisma e os polígonos são suas bases.

Qualquer prisma tem n+2 lados, 3n arestas e 2n vértices, onde n é o número de vértices ou lados da base poligonal. A imagem mostra um prisma pentagonal que possui 7 lados, 10 vértices e 15 arestas.

A classe de figuras considerada é representada por vários tipos de prismas. Listamos brevemente:

• côncavo e convexo;
• oblíquo e reto;
• errado e certo.

Cada figura pertence a um dos três tipos de classificação listados. Ao resolver problemas geométricos, é mais fácil realizar cálculos para prismas regulares e retos. Este último será discutido com mais detalhes nos parágrafos seguintes do artigo.

O que é um prisma reto?

Um prisma reto é um prisma côncavo ou convexo, regular ou irregular, no qual todos os lados são representados por quadriláteros com ângulos de 90°. Se pelo menos um dos quadriláteros dos lados não for um retângulo ou quadrado, o prisma é chamado de oblíquo. Outra definição também pode ser dada: um prisma reto é uma figura de uma determinada classe na qual qualquer aresta lateral é igual à altura. Sob a altura h do prisma, a distância entre suas bases é assumida.

As duas definições dadas de que é um prisma direto são iguais e autossuficientes. Segue-se deles que todos os ângulos diedros entre qualquer uma das bases e cada lado são 90°.

Foi dito acima que é conveniente trabalhar com números retos na resolução de problemas. Isso se deve ao fato de que a altura corresponde ao comprimento da nervura lateral. Este último fato facilita o processo de cálculo do volume de uma figura e a área de sua superfície lateral.

Volume de um prisma direto

Volume - um valor inerente a qualquer figura espacial, que reflete numericamente a parte do espaço delimitada entre as superfícies do objeto consideradoobjeto. O volume de um prisma pode ser calculado usando a seguinte fórmula geral:

V=S_oh.

Ou seja, o produto da altura pela área da base dará o valor desejado V. Como as bases de um prisma reto são iguais, então determine a área S_o você pode pegar qualquer um deles.

A vantagem de usar a fórmula acima especificamente para um prisma reto em comparação com seus outros tipos é que é muito fácil encontrar a altura da figura, pois ela coincide com o comprimento da aresta lateral.

Área Lateral

É conveniente calcular não apenas o volume de uma figura reta da classe considerada, mas também sua superfície lateral. De fato, qualquer lado dele é um retângulo ou um quadrado. Todo aluno sabe calcular a área dessas figuras planas, para isso é necessário multiplicar os lados adjacentes entre si.

Assuma que a base do prisma é um n-gon arbitrário cujos lados são iguais a_i. O índice i vai de 1 a n. A área de um retângulo é calculada assim:

S_i=a_ih.

A área da superfície lateral S_bé fácil de calcular se você somar todas as áreas S_i retângulos. Neste caso, obtemos a fórmula final para S_bprisma reto:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

Assim, para determinar a área da superfície lateral de um prisma reto, você deve multiplicar sua altura pelo perímetro de uma base.

Problema com um prisma triangular

Assuma que é dado um prisma reto. A base é um triângulo retângulo. Os catetos deste triângulo são 12 cm e 8 cm. É necessário calcular o volume da figura e sua área total se a altura do prisma for 15 cm.

Primeiro, vamos calcular o volume de um prisma reto. O triângulo (retangular) localizado em suas bases tem uma área:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

Como você pode imaginar, a₁ e a₂ são pernas nesta equação. Conhecendo a área e a altura da base (veja a condição do problema), você pode usar a fórmula para V:

V=S_oh=4815=720cm³.

A área total da figura é formada por duas partes: as áreas das bases e a superfície lateral. As áreas das duas bases são:

S_2o=2S_o=482=96cm².

Para calcular a área da superfície lateral, você precisa conhecer o perímetro de um triângulo retângulo. Calcule pelo teorema de Pitágoras sua hipotenusa a₃, temos:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Então o perímetro do triângulo da base do prisma reto será:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Aplicando a fórmula para S_b, que foi escrita no parágrafo anterior,obter:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Somando as áreas de S_2o e S_b, obtemos a área total da superfície da figura geométrica estudada:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Um prisma triangular, feito de tipos especiais de vidro, é usado em óptica para estudar os espectros de objetos emissores de luz. Tais prismas são capazes de decompor a luz em frequências componentes devido ao fenômeno da dispersão.