O que são números irracionais? Por que eles são chamados assim? Onde eles são usados e quais são eles? Poucos podem responder a essas perguntas sem hesitação. Mas, na verdade, as respostas para elas são bem simples, embora nem todos precisem delas e em situações muito raras
Essência e designação
Os números irracionais são infinitas frações decimais não periódicas. A necessidade de introduzir este conceito se deve ao fato de que os conceitos de números reais ou reais, inteiros, naturais e racionais anteriormente existentes já não eram mais suficientes para resolver novos problemas emergentes. Por exemplo, para calcular o que é o quadrado de 2, você precisa usar decimais infinitos não recorrentes. Além disso, muitas das equações mais simples também não têm solução sem introduzir o conceito de número irracional.
Este conjunto é denotado como I. E, como já está claro, esses valores não podem ser representados como uma fração simples, no numerador do qual haverá um número inteiro e no denominador - um número natural.
Pela primeira vezcaso contrário, os matemáticos indianos encontraram esse fenômeno no século VII aC, quando se descobriu que as raízes quadradas de algumas quantidades não podiam ser indicadas explicitamente. E a primeira prova da existência de tais números é atribuída ao pitagórico Hippasus, que fez isso no processo de estudar um triângulo retângulo isósceles. Uma séria contribuição para o estudo deste conjunto foi feita por alguns outros cientistas que viveram antes de nossa era. A introdução do conceito de números irracionais implicou uma revisão do sistema matemático existente, razão pela qual eles são tão importantes.
Origem do nome
Se ratio em latim significa "fração", "ratio", então o prefixo "ir"
dá a esta palavra o significado oposto. Assim, o nome do conjunto desses números indica que eles não podem ser correlacionados com um inteiro ou fracionário, eles têm um lugar separado. Isso decorre de sua essência.
Colocação na classificação geral
Os números irracionais, juntamente com os números racionais, pertencem ao grupo dos números reais ou reais, que por sua vez pertencem aos números complexos. Não há subconjuntos, no entanto, existem variedades algébricas e transcendentais, que serão discutidas abaixo.
Propriedades
Como os números irracionais fazem parte do conjunto dos números reais, todas as suas propriedades que são estudadas em aritmética (também chamadas de leis algébricas básicas) se aplicam a eles.
a + b=b + a (comutatividade);
(a + b) + c=a + (b + c)(associatividade);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (existência do número oposto);
ab=ba (lei de deslocamento);
(ab)c=a(bc) (distributividade);
a(b+c)=ab + ac (lei distributiva);
a x 1=a
a x 1/a=1 (existência de um número inverso);
A comparação também é realizada de acordo com as leis e princípios gerais:
Se a > b e b > c, então a > c (transitividade da razão) e. etc.
Claro, todos os números irracionais podem ser convertidos usando aritmética básica. Não há regras especiais para isso.
Além disso, o axioma de Arquimedes se aplica aos números irracionais. Ele diz que para quaisquer duas quantidades a e b, a afirmação é verdadeira que, tomando a como termo muitas vezes, você pode superar b.
Usar
Apesar do fato de que na vida comum você não precisa lidar com eles, os números irracionais não podem ser contados. Existem muitos deles, mas eles são quase invisíveis. Estamos cercados por números irracionais em todos os lugares. Exemplos familiares a todos são o número pi, igual a 3, 1415926 …, ou e, que é essencialmente a base do logaritmo natural, 2, 718281828 … Em álgebra, trigonometria e geometria, eles devem ser usados constantemente. Aliás, o famoso valor da "seção áurea", ou seja, a razão entre a parte maior e a menor, e vice-versa, também é
pertence a este conjunto. Menos conhecido "prata" - também.
Eles estão localizados muito densamente na reta numérica, então entre quaisquer dois valores relacionados ao conjunto dos racionais, um irracional certamente ocorrerá.
Ainda há muitos problemas não resolvidos relacionados a este conjunto. Existem critérios como a medida de irracionalidade e a normalidade de um número. Os matemáticos continuam a examinar os exemplos mais significativos de pertencimento a um grupo ou outro. Por exemplo, acredita-se que e é um número normal, ou seja, a probabilidade de diferentes dígitos aparecerem em seu registro é a mesma. Quanto ao pi, a pesquisa ainda está em andamento a respeito. Uma medida de irracionalidade também é chamada de valor que mostra quão bem este ou aquele número pode ser aproximado por números racionais.
Algébrica e transcendental
Como já mencionado, os números irracionais são divididos condicionalmente em algébricos e transcendentes. Condicionalmente, pois, a rigor, esta classificação é usada para dividir o conjunto C.
Esta designação oculta números complexos, que incluem números reais ou reais.
Então, um valor algébrico é um valor que é a raiz de um polinômio que não é identicamente igual a zero. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 estaria nesta categoria porque é a solução para a equação x2 - 2=0.
Todos os outros números reais que não satisfazem essa condição são chamados transcendentes. A esta variedadeincluem os exemplos mais famosos e já mencionados - o número pi e a base do logaritmo natural e.
Curiosamente, nem um nem o segundo foram originalmente deduzidos por matemáticos nesta capacidade, sua irracionalidade e transcendência foram provadas muitos anos após sua descoberta. Para pi, a prova foi dada em 1882 e simplificada em 1894, o que pôs fim à controvérsia de 2.500 anos sobre o problema da quadratura do círculo. Ainda não é totalmente compreendido, então os matemáticos modernos têm algo em que trabalhar. A propósito, o primeiro cálculo suficientemente preciso desse valor foi realizado por Arquimedes. Antes dele, todos os cálculos eram muito aproximados.
Para e (os números de Euler ou Napier), a prova de sua transcendência foi encontrada em 1873. É usado na resolução de equações logarítmicas.
Outros exemplos incluem valores de seno, cosseno e tangente para qualquer valor algébrico diferente de zero.
