Sistemas numéricos - o que é? Mesmo sem saber a resposta para essa pergunta, cada um de nós usa involuntariamente sistemas numéricos em nossas vidas e não suspeita disso. Isso mesmo, plural! Ou seja, não um, mas vários. Antes de dar exemplos de sistemas numéricos não posicionais, vamos entender essa questão, vamos falar também sobre sistemas posicionais.
Fatura necessária
Desde os tempos antigos, as pessoas tinham necessidade de contar, ou seja, intuitivamente percebiam que precisavam expressar de alguma forma uma visão quantitativa das coisas e eventos. O cérebro sugeriu que era necessário usar objetos para contar. Os dedos sempre foram os mais convenientes, e isso é compreensível, pois estão sempre disponíveis (com raras exceções).
Assim, os antigos representantes da raça humana tiveram que dobrar os dedos no sentido literal - para indicar o número de mamutes mortos, por exemplo. Tais elementos do relato ainda não tinham nomes, mas apenas uma imagem visual, uma comparação.
Sistemas de numeração posicionais modernos
O sistema de numeração é um método (maneira) de representar valores quantitativos e quantidades usando certos sinais (símbolos ou letras).
É necessário entender o que é posicional e não posicional na contagem antes de dar exemplos de sistemas numéricos não posicionais. Existem muitos sistemas numéricos posicionais. Agora os seguintes são usados em vários campos do conhecimento: binário (inclui apenas dois elementos significativos: 0 e 1), hexadecimal (número de caracteres - 6), octal (caracteres - 8), duodecimal (doze caracteres), hexadecimal (inclui dezesseis personagens). Além disso, cada linha de caracteres nos sistemas começa do zero. As tecnologias computacionais modernas são baseadas no uso de códigos binários - o sistema numérico posicional binário.
Sistema de numeração decimal
Posicionalidade é a presença de posições significativas em graus variados, nas quais os sinais do número estão localizados. Isso pode ser melhor demonstrado usando o exemplo do sistema de numeração decimal. Afinal, estamos acostumados a usá-lo desde a infância. Há dez signos neste sistema: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Pegue o número 327. Ele tem três signos: 3, 2, 7. Cada um deles está localizado em sua própria posição (lugar). O sete assume a posição reservada para valores únicos (unidades), os dois - dezenas e os três - centenas. Como o número tem três dígitos, há apenas três posições nele.
Com base no acima, esteum número decimal de três dígitos pode ser descrito da seguinte forma: três centenas, duas dezenas e sete unidades. Além disso, a significância (importância) das posições é contada da esquerda para a direita, da posição fraca (um) para a mais forte (centenas).
Nós nos sentimos muito confortáveis no sistema de numeração decimal posicional. Temos dez dedos nas mãos e o mesmo nos pés. Cinco mais cinco - então, graças aos dedos, imaginamos facilmente uma dúzia desde a infância. É por isso que é fácil para as crianças aprenderem a tabuada de cinco e dez. E também é muito fácil aprender a contar notas, que na maioria das vezes são múltiplos (ou seja, divididos sem resto) por cinco e dez.
Outros sistemas de numeração posicionais
Para a surpresa de muitos, deve-se dizer que não apenas no sistema de contagem decimal, nosso cérebro está acostumado a fazer alguns cálculos. Até agora, a humanidade tem usado sistemas numéricos de seis e duodecimais. Ou seja, em tal sistema existem apenas seis caracteres (em hexadecimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Em duodecimal existem doze deles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, onde A - denota o número 10, B - o número 11 (já que o sinal deve ser um).
Julgue por si mesmo. Contamos o tempo em seis, não é? Uma hora é sessenta minutos (seis dezenas), um dia é vinte e quatro horas (duas vezes doze), um ano é doze meses, e assim por diante… Todos os intervalos de tempo cabem facilmente em séries de seis e duodecimais. Mas estamos tão acostumados que nem pensamos nisso na hora de contar o tempo.
Sistemas numéricos não posicionais. Unário
É necessário definir o que é - um sistema numérico não posicional. Este é um sistema de sinais em que não há posições para os sinais de um número, ou o princípio de "ler" um número não depende da posição. Ele também tem suas próprias regras para escrever ou calcular.
Vamos dar exemplos de sistemas numéricos não posicionais. Voltemos à antiguidade. As pessoas precisavam de uma conta e inventaram a invenção mais simples - nós. O sistema numérico não posicional é nodular. Um item (um saco de arroz, um touro, um palheiro, etc.) foi contado, por exemplo, ao comprar ou vender, e amarrado em um barbante.
Como resultado, tantos nós foram feitos na corda quantos sacos de arroz foram comprados (como exemplo). Mas também podem ser entalhes em uma vara de madeira, em uma laje de pedra, etc. Tal sistema numérico ficou conhecido como nodular. Ela tem um segundo nome - unário, ou único ("uno" em latim significa "um").
Torna-se óbvio que este sistema numérico é não-posicional. Afinal, de que tipo de posição podemos falar quando ela (a posição) é apenas uma! Curiosamente, em algumas partes da Terra, o sistema numérico unário não posicional ainda está em uso.
Além disso, os sistemas numéricos não posicionais incluem:
- Roman (letras são usadas para escrever números - caracteres latinos);
- Egípcio antigo (semelhante ao romano, símbolos também eram usados);
- alfabética (foram usadas as letras do alfabeto);
- Babilônico (cuneiforme - usado direto e"cunha" invertida);
- Grego (também conhecido como alfabético).
Sistema de numeração romano
O antigo Império Romano, assim como sua ciência, era muito progressista. Os romanos deram ao mundo muitas invenções úteis da ciência e da arte, incluindo seu sistema de contagem. Duzentos anos atrás, algarismos romanos eram usados para denotar valores em documentos comerciais (assim, a falsificação era evitada).
A numeração romana é um exemplo de sistema de numeração não posicional, nós o conhecemos agora. Além disso, o sistema romano é usado ativamente, mas não para cálculos matemáticos, mas para ações estreitamente focadas. Por exemplo, com a ajuda de números romanos, costuma-se designar datas históricas, séculos, números de volumes, seções e capítulos em publicações de livros. Sinais romanos são frequentemente usados para decorar mostradores de relógios. E também a numeração romana é um exemplo de um sistema numérico não posicional.
Os romanos denotavam números com letras latinas. Além disso, eles anotaram os números de acordo com certas regras. Há uma lista de símbolos-chave no sistema de numeração romano, com a ajuda da qual todos os números foram escritos sem exceção.
| Número (decimal) | Algarismo romano (letra do alfabeto latino) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regras para compor números
O número requerido foi obtido somando sinais (letras latinas) e calculando sua soma. Vamos considerar como os sinais são escritos simbolicamente no sistema romano e como eles devem ser "lidos". Vamos listar as principais leis de formação de números no sistema numérico não posicional romano.
- O número quatro - IV, consiste em dois caracteres (I, V - um e cinco). Obtém-se subtraindo o sinal menor do maior se estiver à esquerda. Quando o sinal menor está localizado à direita, você precisa adicionar e obter o número seis - VI.
- É necessário somar dois sinais idênticos um ao lado do outro. Por exemplo: SS é 200 (C é 100), ou XX é 20.
- Se o primeiro sinal de um número for menor que o segundo, então o terceiro caractere nesta linha pode ser um caractere cujo valor seja ainda menor que o primeiro. Para evitar confusão, aqui está um exemplo: CDX - 410 (em decimal).
- Alguns números grandes podem ser representados de diferentes maneiras, o que é uma das desvantagens do sistema de contagem romano. Aqui estão alguns exemplos: MVM (romano)=1000 + (1000 - 5)=1995 (decimal) ou MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. E isso não é tudo.
Truques de aritmética
Sistema de numeração não posicional às vezes é um conjunto complexo de regras para a formação de números, seu processamento (ações sobre eles). Operações aritméticas em sistemas numéricos não posicionais não são fáceispara as pessoas modernas. Não invejamos os antigos matemáticos romanos!
Exemplo de adição. Vamos tentar somar dois números: XIX + XXVI=XXXV, esta tarefa é realizada em duas etapas:
- Primeiro - pegue e some as frações menores dos números: IX + VI=XV (I depois de V e I antes de X "destroem" um ao outro).
- Second - soma frações grandes de dois números: X + XX=XXX.
Subtração é um pouco mais complicada. O número a ser reduzido deve ser dividido em seus elementos constituintes e, em seguida, os caracteres duplicados a serem reduzidos no número a ser reduzido e subtraído. Subtraia 263 de 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Multiplicação de numeral romano. A propósito, é necessário mencionar que os romanos não tinham sinais de operações aritméticas, eles simplesmente as denotavam com palavras.
O número múltiplo teve que ser multiplicado por cada símbolo individual do multiplicador, resultando em vários produtos que tiveram que ser somados. É assim que os polinômios são multiplicados.
Quanto à divisão, esse processo no sistema de numeração romano foi e continua sendo o mais difícil. O antigo ábaco romano foi usado aqui. Para trabalhar com ele, as pessoas foram especialmente treinadas (e nem todas conseguiram dominar tal ciência).
Sobre as desvantagens dos sistemas não posicionais
Como mencionado acima, os sistemas numéricos não posicionais têm suas desvantagens, inconvenientes no uso. O unário é bastante simples para simples contagem, mas para cálculos aritméticos e complexos, não ébom o suficiente.
Em romano não há regras uniformes para a formação de grandes números e surge confusão, e também é muito difícil fazer cálculos nele. Além disso, o maior número que os antigos romanos podiam escrever com seu método era 100.000.
