O Dicionário Explicativo de Ozhegov afirma que um pentágono é uma figura geométrica limitada por cinco linhas retas que se cruzam formando cinco ângulos internos, bem como qualquer objeto de forma semelhante. Se um determinado polígono tem os mesmos lados e ângulos, ele é chamado de regular (pentágono).
O que é interessante sobre um pentágono regular?
Foi dessa forma que foi construído o conhecido prédio do Departamento de Defesa dos Estados Unidos. Dos volumosos poliedros regulares, apenas o dodecaedro tem faces em forma de pentágono. E na natureza, os cristais estão completamente ausentes, cujas faces se assemelham a um pentágono regular. Além disso, esta figura é um polígono com um número mínimo de cantos que não podem ser usados para ladrilhar uma área. Apenas um pentágono tem o mesmo número de diagonais que seus lados. Concordo, é interessante!
Propriedades e fórmulas básicas
Usando as fórmulas parapolígono regular arbitrário, você pode determinar todos os parâmetros necessários que o pentágono possui.
- Ângulo central α=360 / n=360/5=72°.
- Ângulo interno β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Assim, a soma dos ângulos internos é 540°.
- A razão da diagonal para o lado é (1+√5) /2, ou seja, a "seção dourada" (aproximadamente 1, 618).
- O comprimento do lado que um pentágono regular possui pode ser calculado usando uma das três fórmulas, dependendo de qual parâmetro já é conhecido:
- se um círculo está circunscrito ao seu redor e seu raio R é conhecido, então a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- no caso em que um círculo de raio r está inscrito em um pentágono regular, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- acontece que, em vez de raios, o valor da diagonal D é conhecido, então o lado é determinado da seguinte forma: a ≈ D/1, 618.
- A área de um pentágono regular é determinada, novamente, dependendo do parâmetro que conhecemos:
- se houver um círculo inscrito ou circunscrito, então uma das duas fórmulas é usada:
S=(nar)/2=2, 5ar ou S=(nR2sen α)/2 ≈ 2, 3776R2;
a área também pode ser determinada conhecendo apenas o comprimento do lado a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Pentágono regular: construção
Esta figura geométrica pode ser construída de diferentes maneiras. Por exemplo, inscrevê-lo em um círculo com um determinado raio ou construí-lo com base em um determinado lado lateral. A sequência de ações foi descrita nos Elementos de Euclides por volta de 300 aC. Em qualquer caso, precisamos de uma bússola e uma régua. Considere o método de construção usando um determinado círculo.
1. Selecione um raio arbitrário e desenhe um círculo, marcando seu centro com um O.
2. Na linha do círculo, selecione um ponto que servirá como um dos vértices do nosso pentágono. Seja este o ponto A. Conecte os pontos O e A com uma linha reta.
3. Desenhe uma linha através do ponto O perpendicular à linha OA. Designe a interseção desta linha com a linha do círculo como ponto B.
4. No meio da distância entre os pontos O e B, construa o ponto C.
5. Agora desenhe um círculo cujo centro estará no ponto C e que passará pelo ponto A. O local de sua interseção com a linha OB (estará dentro do primeiro círculo) será o ponto D.
6. Construir um círculo passando por D, cujo centro estará em A. Os locais de sua interseção com o círculo original devem ser marcados com os pontos E e F.
7. Agora construa um círculo, cujo centro estará em E. Você precisa fazer isso para que ele passe por A. Sua outra interseção do círculo original deve ser indicada pelo ponto G.
8. Finalmente, desenhe um círculo passando por A centrado no ponto F. Marque outra interseção do círculo original com o ponto H.
9. Agora deixoubasta conectar os vértices A, E, G, H, F. Nosso pentágono regular estará pronto!
