O que é isso - um cone? Definição, propriedades, fórmulas e um exemplo de resolução do problema

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificação: 2024-01-02 17:54

Um cone é uma das figuras espaciais de rotação, cujas características e propriedades são estudadas por estereometria. Neste artigo, vamos definir esta figura e considerar as fórmulas básicas que conectam os parâmetros lineares de um cone com sua área de superfície e volume.

O que é um cone?

Do ponto de vista da geometria, estamos falando de uma figura espacial, que é formada por um conjunto de segmentos retos conectando um determinado ponto no espaço com todos os pontos de uma curva plana e suave. Esta curva pode ser um círculo ou uma elipse. A figura abaixo mostra um cone.

A figura apresentada não possui volume, pois as paredes de sua superfície possuem espessura infinitesimal. No entanto, se for preenchido com uma substância e delimitado de cima não por uma curva, mas por uma figura plana, por exemplo, um círculo, obteremos um corpo volumétrico sólido, que também é comumente chamado de cone.

A forma de um cone pode ser encontrada muitas vezes na vida. Então, tem uma casquinha de sorvete ou cones de trânsito listrados em preto e laranja que são colocados na pista para chamar a atenção dos participantes do trânsito.

Elementos de um cone e seus tipos

Como o cone não é um poliedro, o número de elementos que o formam não é tão grande quanto no poliedro. Em geometria, um cone geral consiste nos seguintes elementos:

• base, cuja curva delimitadora é chamada de diretriz ou geratriz;
• da superfície lateral, que é a coleção de todos os pontos dos segmentos de reta (geratrizes) que ligam o vértice e os pontos da curva guia;
• vértice, que é o ponto de interseção das geratrizes.

Observe que o vértice não deve estar no plano da base, pois neste caso o cone degenera em uma figura plana.

Se desenharmos um segmento perpendicular do topo à base, obteremos a altura da figura. Se a última base cruza o centro geométrico, então é um cone reto. Se a perpendicular não coincidir com o centro geométrico da base, a figura será inclinada.

Cones retos e oblíquos são mostrados na figura. Aqui, a altura e o raio da base do cone são denotados por h e r, respectivamente. A linha que liga o topo da figura e o centro geométrico da base é o eixo do cone. Pode-se ver pela figura que, para uma figura reta, a altura está nesse eixo e, para uma figura inclinada, a altura forma um ângulo com o eixo. O eixo do cone é indicado pela letra a.

Cone reto com base redonda

Talvez, este cone seja o mais comum da classe de figuras considerada. Consiste em um círculo e um ladosuperfícies. Não é difícil obtê-lo por métodos geométricos. Para fazer isso, pegue um triângulo retângulo e gire-o em torno de um eixo que coincide com uma das pernas. Obviamente, essa perna se tornará a altura da figura, e o comprimento da segunda perna do triângulo forma o raio da base do cone. O diagrama abaixo demonstra o esquema descrito para obter a figura de rotação em questão.

O triângulo representado pode ser girado em torno de outra perna, o que resultará em um cone com um raio de base maior e uma altura menor que o primeiro.

Para determinar inequivocamente todos os parâmetros de um cone reto redondo, deve-se conhecer duas de suas características lineares. Entre eles, destacam-se o raio r, a altura h ou o comprimento da geratriz g. Todas essas quantidades são os comprimentos dos lados do triângulo retângulo considerado, portanto, o teorema de Pitágoras é válido para sua conexão:

g²=r²+ h^2.

Área de superfície

Ao estudar a superfície de qualquer figura tridimensional, é conveniente usar seu desenvolvimento em um plano. O cone não é exceção. Para um cone redondo, o desenvolvimento é mostrado abaixo.

Vemos que o desdobramento da figura consiste em duas partes:

1. O círculo que forma a base do cone.
2. O setor do círculo, que é a superfície cônica da figura.

A área de um círculo é fácil de encontrar, e a fórmula correspondente é conhecida por todos os alunos. Falando sobre o setor circular, notamos que eleé parte de um círculo com raio g (o comprimento da geratriz do cone). O comprimento do arco deste setor é igual à circunferência da base. Esses parâmetros permitem determinar sua área de forma inequívoca. A fórmula correspondente é:

S=pir2+ pirg.

O primeiro e o segundo termos da expressão são o cone da base e a superfície lateral da área, respectivamente.

Se o comprimento do gerador g é desconhecido, mas a altura h da figura é dada, então a fórmula pode ser reescrita como:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

O volume da figura

Se pegarmos uma pirâmide reta e aumentarmos o número de lados de sua base no infinito, então a forma da base tenderá para um círculo, e a superfície lateral da pirâmide se aproximará da superfície cônica. Essas considerações nos permitem usar a fórmula do volume de uma pirâmide ao calcular um valor semelhante para um cone. O volume de um cone pode ser encontrado usando a fórmula:

V=1/3hS_o.

Esta fórmula é sempre verdadeira, independente de qual seja a base do cone, tendo área S_{o. Além disso, a fórmula também se aplica ao cone oblíquo.}

Como estamos estudando as propriedades de uma figura reta com base redonda, podemos usar a seguinte expressão para determinar seu volume:

V=1/3hpir2.

A fórmula é óbvia.

O problema de encontrar a área da superfície e o volume

Seja dado um cone, cujo raio é 10 cm, e o comprimento da geratriz é 20veja Necessidade de determinar o volume e a área de superfície para esta forma.

Para calcular a área S, você pode usar imediatamente a fórmula escrita acima. Temos:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Para determinar o volume, você precisa saber a altura h da figura. Calculamos usando a relação entre os parâmetros lineares do cone. Obtemos:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Agora você pode usar a fórmula para V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Observe que o volume de um cone redondo é um terço do cilindro em que está inscrito.