Em matemática existe o conceito de "conjunto", bem como exemplos de comparação desses mesmos conjuntos entre si. Os nomes dos tipos de comparação de conjuntos são as seguintes palavras: bijeção, injeção, sobrejeção. Cada um deles é descrito com mais detalhes abaixo.
Uma bijeção é… o que é?
Um grupo de elementos do primeiro conjunto é correspondido com o segundo grupo de elementos do segundo conjunto desta forma: cada elemento do primeiro grupo é correspondido diretamente com outro elemento do segundo grupo, e não não há situação com f alta ou enumeração de elementos de qualquer ou de dois grupos de conjuntos.
Formulação das propriedades principais:
- Um elemento para um.
- Não há elementos extras ao combinar e a primeira propriedade é preservada.
- É possível reverter o mapeamento mantendo a visão geral.
- Uma bijeção é uma função que é tanto injetiva quanto sobrejetora.
Bijeção do ponto de vista científico
Funções bijetivas são exatamente isomorfismos na categoria "conjunto e conjunto de funções". No entanto, bijeções nem sempre são isomorfismos para categorias mais complexas. Por exemplo, em uma determinada categoria de grupos, os morfismos devem ser homomorfismos, pois devem preservar a estrutura do grupo. Portanto, isomorfismos são isomorfismos de grupo, que são homomorfismos bijetivos.
O conceito de "correspondência um-para-um" é generalizado para funções parciais, onde são chamadas de bijeções parciais, embora uma bijeção parcial seja o que deveria ser uma injeção. A razão para esse relaxamento é que a função parcial (própria) não é mais definida para parte de seu domínio. Assim, não há uma boa razão para limitar sua função inversa a uma função completa, ou seja, definida em todos os lugares em seu domínio. O conjunto de todas as bijeções parciais para um determinado conjunto de base é chamado de semigrupo inverso simétrico.
Outra forma de definir o mesmo conceito: vale dizer que uma bijeção parcial de conjuntos de A a B é qualquer relação R (função parcial) com a propriedade de que R é um grafo de bijeção f:A'→B ' onde A' é um subconjunto de A e B' é um subconjunto de B.
Quando uma bijeção parcial está no mesmo conjunto, às vezes é chamada de transformação parcial um para um. Um exemplo é a transformada de Möbius definida no plano complexo, não sua conclusão no plano complexo estendido.
Injeção
Um grupo de elementos do primeiro conjunto é combinado com o segundo grupo de elementos do segundo conjunto desta forma: cada elemento do primeiro grupo é combinado com outro elemento do segundo, mas não todos eles são convertidos em pares. O número de elementos desemparelhados depende da diferença no número desses mesmos elementos em cada um dos conjuntos: se um conjunto consiste em trinta e um elementos e o outro tem mais sete, então o número de elementos desemparelhados é sete. Injeção direcionada no conjunto. Bijeção e injeção são semelhantes, mas nada mais do que semelhantes.
Sobrejeção
Um grupo de elementos do primeiro conjunto é combinado com o segundo grupo de elementos do segundo conjunto desta forma: cada elemento de qualquer grupo forma um par, mesmo que haja uma diferença entre o número de elementos. Segue-se que um elemento de um grupo pode emparelhar com vários elementos de outro grupo.
Nem bijetiva, nem injetiva, nem sobrejetora
Esta é uma função da forma bijetiva e sobrejetiva, mas com um resto (não pareado)=> injeção. Em tal função, há claramente uma conexão entre bijeção e sobrejeção, uma vez que inclui diretamente esses dois tipos de comparação de conjuntos. Portanto, a totalidade de todos os tipos dessas funções não é uma delas isoladamente.
Explicação de todos os tipos de funções
Por exemplo, o observador fica fascinado com o seguinte. Existem competições de tiro com arco. Cada um deos participantes querem acertar o alvo (para facilitar a tarefa: não é levado em consideração exatamente onde a flecha atinge). Apenas três participantes e três alvos - este é o primeiro site (site) para o torneio. Nas seções subsequentes, o número de arqueiros é preservado, mas o número de alvos é alterado: no segundo - quatro alvos, no próximo - também quatro e no quarto - cinco. Cada participante atira em cada alvo.
- O primeiro local do torneio. O primeiro arqueiro atinge apenas um alvo. O segundo atinge apenas um alvo. O terceiro se repete após os outros, e todos os arqueiros atingem alvos diferentes: aqueles que estão em frente a eles. Como resultado, 1 (o primeiro arqueiro) atingiu o alvo (a), 2 - em (b), 3 - em (c). Observa-se a seguinte dependência: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c). A conclusão será o julgamento de que tal comparação de conjuntos é uma bijeção.
- A segunda plataforma do torneio. O primeiro arqueiro atinge apenas um alvo. O segundo também atinge apenas um alvo. O terceiro realmente não tenta e repete tudo após os outros, mas a condição é a mesma - todos os arqueiros atingem alvos diferentes. Mas, como mencionado anteriormente, já existem quatro alvos na segunda plataforma. Dependência: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - elemento não pareado do conjunto. Neste caso, a conclusão será o julgamento de que tal comparação de conjunto é uma injeção.
- O terceiro local do torneio. O primeiro arqueiro atinge apenas um alvo. O segundo atinge apenas um alvo novamente. O terceiro decide se recompor e atinge o terceiro e o quarto alvos. Como resultado, a dependência: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d). Aqui, a conclusão será o julgamento de que tal comparação de conjuntos é uma sobrejeção.
- A quarta plataforma para o torneio. Com o primeiro, tudo já está claro, ele acerta apenas um alvo, no qual em breve não haverá espaço para acertos já chatos. Agora o segundo assume o papel do terceiro ainda recente e novamente atinge apenas um alvo, repetindo-se após o primeiro. O terceiro continua a se controlar e não para de introduzir sua flecha no terceiro e quarto alvos. O quinto, no entanto, ainda estava fora de seu controle. Então, dependência: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - elemento não pareado do conjunto de alvos. Conclusão: tal comparação de conjuntos não é uma sobrejeção, nem uma injeção, nem uma bijeção.
Agora construir uma bijeção, injeção ou sobrejeção não será um problema, assim como encontrar diferenças entre elas.
