Em matemática e processamento, o conceito de um sinal analítico (abreviado - C, AC) é uma função complexa que não possui componentes de frequência negativos. As partes real e imaginária deste fenômeno são funções reais relacionadas entre si pela transformada de Hilbert. Um sinal analítico é um fenômeno bastante comum em química, cuja essência é semelhante à definição matemática desse conceito.
Desempenhos
A representação analítica de uma função real é um sinal analítico contendo a função original e sua transformada de Hilbert. Essa representação facilita muitas manipulações matemáticas. A ideia principal é que os componentes de frequência negativa da transformada de Fourier (ou espectro) de uma função real são redundantes devido à simetria Hermitiana de tal espectro. Esses componentes de frequência negativa podem ser descartados semperda de informações, desde que você queira lidar com uma função complexa. Isso torna certos atributos de recursos mais acessíveis e facilita a derivação de técnicas de modulação e demodulação, como SSB.
Componentes negativos
Contanto que a função que está sendo manipulada não tenha componentes de frequência negativa (ou seja, ainda é analítica), a conversão de complexa de volta para real é simplesmente uma questão de descartar a parte imaginária. A representação analítica é uma generalização do conceito de vetor: enquanto um vetor é limitado a uma amplitude, fase e frequência invariantes no tempo, uma análise qualitativa de um sinal analítico permite parâmetros que variam no tempo.
Amplitude instantânea, fase instantânea e frequência são utilizadas em algumas aplicações para medir e detectar características locais de C. Outra aplicação da representação analítica refere-se à demodulação de sinais modulados. As coordenadas polares separam convenientemente os efeitos da modulação AM e de fase (ou frequência) e demodulam efetivamente certos tipos.
Então um simples filtro passa-baixa com coeficientes reais pode cortar a parte de interesse. Outro motivo é diminuir a frequência máxima, o que diminui a frequência mínima para amostragem sem alias. A mudança de frequência não prejudica a utilidade matemática da representação. Assim, nesse sentido, downconverted ainda é analítico. No entanto, a restauração da representação realnão é mais uma simples questão de simplesmente extrair o componente real. A conversão ascendente pode ser necessária e, se o sinal for amostrado (tempo discreto), a interpolação (amostragem ascendente) também pode ser necessária para evitar alias.
Variáveis
O conceito é bem definido para fenômenos de variável única, que geralmente são temporários. Essa temporalidade confunde muitos matemáticos iniciantes. Para duas ou mais variáveis, C analítico pode ser definido de maneiras diferentes, e duas abordagens são apresentadas a seguir.
As partes real e imaginária deste fenômeno correspondem a dois elementos de um sinal monogênico de valor vetorial, conforme definido para fenômenos semelhantes com uma variável. No entanto, monogênico pode ser estendido para um número arbitrário de variáveis de maneira simples, criando uma função vetorial (n + 1) dimensional para o caso de sinais de n variáveis.
Conversão de sinal
Você pode converter um sinal real em um analítico adicionando um componente imaginário (Q), que é a transformada de Hilbert do componente real.
A propósito, isso não é novidade em seu processamento digital. Uma das maneiras tradicionais de gerar AM de banda lateral única (SSB), o método de faseamento, envolve a criação de sinais gerando uma transformada de Hilbert de um sinal de áudio em uma rede analógica resistor-capacitor. Como possui apenas frequências positivas, é fácil convertê-lo em um sinal de RF modulado com apenas uma banda lateral.
Fórmulas de definição
Expressão de sinal analítico é uma função complexa holomórfica definida na fronteira do semiplano complexo superior. O limite do semiplano superior coincide com o aleatório, então C é dado pelo mapeamento fa: R → C. Desde meados do século passado, quando Denis Gabor propôs em 1946 usar esse fenômeno para estudar amplitude e fase constantes, o sinal encontrou muitas aplicações. A peculiaridade deste fenômeno foi enfatizada [Vak96], onde foi demonstrado que apenas uma análise qualitativa do sinal analítico corresponde às condições físicas de amplitude, fase e frequência.
Últimas conquistas
Durante as últimas décadas, tem havido um interesse no estudo do sinal em várias dimensões, motivado por problemas que surgem em campos que vão desde o processamento de imagem/vídeo até processos oscilatórios multidimensionais em física, como sísmica, eletromagnética e ondas gravitacionais. Tem sido geralmente aceito que, para generalizar corretamente C analítico (análise qualitativa) para o caso de várias dimensões, deve-se confiar em uma construção algébrica que estende os números complexos ordinários de uma maneira conveniente. Tais construções são geralmente chamadas de números hipercomplexos [SKE].
Finalmente, deve ser possível construir um sinal analítico hipercomplexo fh: Rd → S, onde algum sistema algébrico hipercomplexo geral é representado, o que naturalmente estende todas as propriedades necessárias para obter uma amplitude instantânea efase.
Estudar
Vários artigos são dedicados a várias questões relacionadas à escolha correta do sistema numérico hipercomplexo, à definição da transformada de Fourier hipercomplexa e das transformadas fracionárias de Hilbert para o estudo da amplitude e fase instantâneas. A maior parte deste trabalho foi baseada em propriedades de vários espaços como Cd, quatérnios, álgebras de Clearon e construções de Cayley-Dixon.
A seguir, listaremos apenas alguns dos trabalhos dedicados ao estudo do sinal em várias dimensões. Até onde sabemos, os primeiros trabalhos sobre o método multivariado foram obtidos no início da década de 1990. Estes incluem o trabalho de Ell [Ell92] sobre transformações hipercomplexas; O trabalho de Bulow na generalização do método de reação analítica (sinal analítico) para muitas medições [BS01] e o trabalho de Felsberg e Sommer em sinais monogênicos.
Outras perspectivas
Espera-se que o sinal hipercomplexo estenda todas as propriedades úteis que temos no caso 1D. Em primeiro lugar, devemos ser capazes de extrair e generalizar a amplitude instantânea e a fase para as medições. Segundo, o espectro de Fourier de um sinal analítico complexo é mantido apenas em frequências positivas, então esperamos que a transformada de Fourier hipercomplexa tenha seu próprio espectro hipervalorizado, que só será mantido em algum quadrante positivo do espaço hipercomplexo. Porque é muito importante.
Terceira, partes conjugadas de um conceito complexodo sinal analítico estão relacionados à transformada de Hilbert, e podemos esperar que os componentes conjugados no espaço hipercomplexo também devem estar relacionados a alguma combinação das transformadas de Hilbert. E finalmente, de fato, um sinal hipercomplexo deve ser definido como uma extensão de alguma função holomórfica hipercomplexa de várias variáveis hipercomplexas definidas na fronteira de alguma forma em um espaço hipercomplexo.
Estamos abordando essas questões em ordem sequencial. Em primeiro lugar, começamos olhando para a fórmula integral de Fourier e mostramos que a transformada de Hilbert para 1-D está relacionada com a fórmula integral de Fourier modificada. Este fato nos permite definir a amplitude instantânea, fase e frequência sem qualquer referência a sistemas numéricos hipercomplexos e funções holomórficas.
Modificação de integrais
Continuamos estendendo a fórmula integral de Fourier modificada para várias dimensões e determinando todos os componentes desfasados necessários que podemos coletar em amplitude e fase instantâneas. Em segundo lugar, nos voltamos para a questão da existência de funções holomorfas de várias variáveis hipercomplexas. Após [Sch93] verifica-se que a álgebra hipercomplexa comutativa e associativa gerada por um conjunto de geradores elípticos (e2i=−1) é um espaço adequado para um sinal analítico hipercomplexo viver, chamamos tal álgebra hipercomplexa de espaço de Schaefer e denotamos istoSd.
Portanto, o hipercomplexo de sinais analíticos é definido como uma função holomórfica na fronteira do polidisco/metade superior do plano em algum espaço hipercomplexo, que chamamos de espaço geral de Schaefers, e denotado por Sd. Observamos então a validade da fórmula integral de Cauchy para as funções Sd → Sd, que são calculadas sobre uma hipersuperfície dentro de um polidisco em Sd e derivamos as correspondentes transformadas fracionárias de Hilbert que relacionam os componentes conjugados hipercomplexos. Por fim, verifica-se que a transformada de Fourier com valores no espaço de Schaefer é suportada apenas em frequências não negativas. Graças a este artigo, você aprendeu o que é um sinal analítico.
