Na palavra "infinito" cada pessoa tem suas próprias associações. Muitos desenham em sua imaginação o mar que vai além do horizonte, enquanto outros têm a imagem de um céu estrelado sem fim diante de seus olhos. Os matemáticos, acostumados a operar com números, imaginam o infinito de uma forma completamente diferente. Por muitos séculos eles têm tentado encontrar a maior das quantidades físicas necessárias para a medição. Um deles é o número de Graham. Quantos zeros estão nele e para que é usado, este artigo dirá.
Número infinitamente grande
Em matemática, este é o nome de tal variável x , se para qualquer número positivo M se pode especificar um número natural N tal que para todos os números n maiores que N a desigualdade |x | > M. No entanto, não, por exemplo, o inteiro Z pode ser considerado infinitamente grande, pois sempre será menor que (Z + 1).
Algumas palavras sobre "gigantes"
Os maiores números que têm significado físico são considerados:
- 1080. Este número, que é comumente chamado de quinquavigintillion, é usado para denotar o número aproximado de quarks e léptons (as menores partículas) no Universo.
- 1 Google. Tal número no sistema decimal é escrito como uma unidade com 100 zeros. De acordo com alguns modelos matemáticos, desde o momento do big bang até a explosão do buraco negro mais massivo, de 1 a 1,5 googol anos devem passar, após o qual nosso universo passará para o último estágio de sua existência, ou seja, podemos suponha que esse número tenha um certo significado físico.
- 8, 5 x 10185. A constante de Planck é 1,616199 x 10-35 m, ou seja, em notação decimal, parece 0,0000000000000000000000000000616199 m. Há cerca de 1 comprimento de googol Planck em uma polegada. Estima-se que cerca de 8,5 x 10185 comprimentos de Planck podem caber em todo o nosso universo.
- 277 232 917 – 1. Este é o maior número primo conhecido. Se sua notação binária tiver uma forma bastante compacta, para descrevê-la na forma decimal, serão necessários pelo menos 13 milhões de caracteres. Foi encontrado em 2017 como parte de um projeto de busca por números de Mersenne. Se os entusiastas continuarem a trabalhar nessa direção, no nível atual de desenvolvimento da tecnologia da computação, em um futuro próximo, é improvável que sejam capazes de encontrar um número de Mersenne em uma ordem de magnitude maior que 277 232 917- 1, embora talo sortudo vencedor receberá US$ 150.000.
- Hugoplex. Aqui nós apenas pegamos 1 e adicionamos zeros depois dele no valor de 1 googol. Você pode escrever este número como 10^10^100. É impossível representá-lo na forma decimal, porque se todo o espaço do Universo estiver preenchido com pedaços de papel, em cada um dos quais 0 seria escrito com uma fonte “Word” de tamanho 10, então neste caso apenas metade do todos os 0 após 1 seriam obtidos para o número googolplex.
- 10^10^10^10^10^1.1. Este é um número que mostra o número de anos após o qual, de acordo com o teorema de Poincaré, nosso Universo, como resultado de flutuações quânticas aleatórias, retornará a um estado próximo ao de hoje.
Como surgiram os números de Graham
Em 1977, o conhecido divulgador da ciência Martin Gardner publicou um artigo na Scientific American sobre a prova de Graham de um dos problemas da teoria de Ramse. Nele, ele chamou o limite estabelecido pelo cientista de o maior número já usado no raciocínio matemático sério.
Quem é Ronald Lewis Graham
O cientista, agora na casa dos 80 anos, nasceu na Califórnia. Em 1962, ele recebeu um Ph. D em matemática da Universidade de Berkeley. Ele trabalhou na Bell Labs por 37 anos e depois mudou-se para a AT&T Labs. O cientista colaborou ativamente com um dos maiores matemáticos do século 20, Pal Erdős, e é o vencedor de muitos prêmios de prestígio. A bibliografia científica de Graham contém mais de 320 artigos científicos.
Em meados dos anos 70, o cientista se interessou pelo problema associado à teoriaRamsey. Em sua prova, foi determinado o limite superior da solução, que é um número muito grande, posteriormente nomeado em homenagem a Ronald Graham.
Problema do hipercubo
Para entender a essência do número de Graham, você deve primeiro entender como ele foi obtido.
O cientista e seu colega Bruce Rothschild estavam resolvendo o seguinte problema:
Existe um hipercubo n-dimensional. Todos os pares de seus vértices são conectados de tal forma que se obtém um grafo completo com 2vértices. Cada uma de suas bordas é colorida de azul ou vermelho. Foi necessário encontrar o número mínimo de vértices que um hipercubo deve ter para que cada uma dessas cores contenha um subgrafo monocromático completo com 4 vértices no mesmo plano.
Decisão
Graham e Rothschild provaram que o problema tem uma solução N' satisfazendo a condição 6 ⩽ N' ⩽N onde N é um número bem definido e muito grande.
O limite inferior para N foi posteriormente refinado por outros cientistas, que provaram que N deve ser maior ou igual a 13. Assim, a expressão para o menor número de vértices de um hipercubo que satisfaz as condições apresentadas acima ficou 13 ⩽ N'⩽ N.
Notação da seta de Knuth
Antes de definir o número de Graham, você deve se familiarizar com o método de sua representação simbólica, pois nem a notação decimal nem a binária são absolutamente adequadas para isso.
Atualmente, a notação de seta de Knuth é usada para representar esta quantidade. Segundo ela:
ab=a "seta para cima" b.
Para a operação de exponenciação múltipla, foi introduzida a entrada:
a "seta para cima" "seta para cima" b=ab="uma torre consistindo de a na quantidade de b peças."
E para pentação, ou seja, designação simbólica de exponenciação repetida do operador anterior, Knuth já usava 3 setas.
Usando esta notação para o número de Graham, temos sequências de "seta" aninhadas umas nas outras, na quantidade de 64 peças.
Escala
Seu famoso número, que excita a imaginação e expande os limites da consciência humana, levando-a além dos limites do Universo, Graham e seus colegas o obtiveram como limite superior para o número N na prova do hipercubo problema apresentado acima. É extremamente difícil para uma pessoa comum imaginar quão grande é sua escala.
A questão do número de caracteres, ou como às vezes é erroneamente dito, zeros no número de Graham, é de interesse de quase todos que ouvem sobre esse valor pela primeira vez.
Basta dizer que estamos lidando com uma sequência de rápido crescimento que consiste em 64 membros. Mesmo seu primeiro termo é impossível de imaginar, pois consiste em n "torres", consistindo em 3-to. Já o seu “piso inferior” de 3 triplos é igual a 7.625.597.484.987, ou seja, ultrapassa 7 bilhões, ou seja, sobre o 64º andar (não é sócio!). Assim, atualmente é impossível dizer exatamente qual é o número de Graham, pois não é suficiente calculá-lo.o poder combinado de todos os computadores que existem na Terra hoje.
Registro quebrado?
No processo de provar o teorema de Kruskal, o número de Graham foi “lançado de seu pedestal”. O cientista propôs o seguinte problema:
Existe uma sequência infinita de árvores finitas. Kruskal provou que sempre existe uma seção de algum gráfico, que é tanto parte de um gráfico maior quanto sua cópia exata. Esta afirmação não levanta dúvidas, pois é óbvio que sempre haverá uma combinação exatamente repetitiva no infinito
Mais tarde, Harvey Friedman estreitou um pouco esse problema considerando apenas grafos acíclicos (árvores) que para um determinado com coeficiente i existem no máximo (i + k) vértices. Ele decidiu descobrir qual deveria ser o número de grafos acíclicos, para que com este método de sua tarefa fosse sempre possível encontrar uma subárvore que seria incorporada em outra árvore.
Como resultado da pesquisa sobre este assunto, descobriu-se que N, dependendo de k, cresce a uma velocidade tremenda. Em particular, se k=1, então N=3. No entanto, em k=2, N já chega a 11. O mais interessante começa quando k=3. Nesse caso, N rapidamente "decola" e atinge um valor que é muitas vezes maior que o número de Graham. Para imaginar quão grande é, basta anotar o número calculado por Ronald Graham na forma de G64 (3). Então o valor de Friedman-Kruskal (rev. FinKraskal(3)), será da ordem de G(G(187196)). Em outras palavras, obtém-se um megavalor, que é infinitamente maiorum número inimaginavelmente grande de Graham. Ao mesmo tempo, mesmo será menor que o infinito por um número gigantesco de vezes. Faz sentido falar sobre esse conceito com mais detalhes.
Infinito
Agora que explicamos o que é o número de Graham nos dedos, devemos entender o significado que foi e está sendo investido neste conceito filosófico. Afinal, “infinito” e “um número infinitamente grande” podem ser considerados idênticos em um determinado contexto.
A maior contribuição para o estudo desta questão foi feita por Aristóteles. O grande pensador da antiguidade dividiu o infinito em potencial e atual. Por este último, ele quis dizer a realidade da existência de coisas infinitas.
Segundo Aristóteles, as fontes de ideias sobre este conceito fundamental são:
- hora;
- separação de valores;
- o conceito de fronteira e a existência de algo além dela;
- a inesgotável natureza criativa;
- pensar que não tem limites.
Na interpretação moderna do infinito, você não pode especificar uma medida quantitativa, então a busca pelo maior número pode durar para sempre.
Conclusão
A metáfora "Olhar para o infinito" e o número de Graham podem ser considerados sinônimos em algum sentido? Mais sim e não. Ambos são impossíveis de imaginar, mesmo com a imaginação mais forte. No entanto, como já mencionado, não pode ser considerado “o mais, o mais”. Outra coisa é que no momento, valores maiores que o número de Graham não possuem umsentido físico.
Além disso, não possui as propriedades de um número infinito, como:
- ∞ + 1=∞;
- existe um número infinito de números pares e ímpares;
- ∞ - 1=∞;
- o número de números ímpares é exatamente metade de todos os números;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Para resumir: o número de Graham é o maior número na prática da prova matemática, de acordo com o Guinness Book of Records. No entanto, existem números que são muitas vezes maiores que esse valor.
Provavelmente, no futuro haverá a necessidade de "gigantes" ainda maiores, especialmente se uma pessoa for além do nosso sistema solar ou inventar algo inimaginável no nível atual de nossa consciência.
