Pitágoras argumentou que o número é a base do mundo junto com os elementos básicos. Platão acreditava que o número conecta o fenômeno e o númeno, ajudando a conhecer, medir e tirar conclusões. Aritmética vem da palavra "arithmos" - um número, o início dos primórdios da matemática. Ele pode descrever qualquer objeto - de uma maçã elementar a espaços abstratos.
Necessidades como fator de desenvolvimento
Nos estágios iniciais da formação da sociedade, as necessidades das pessoas limitavam-se à necessidade de manter a contagem - um saco de grãos, dois sacos de grãos, etc. Para isso bastavam os números naturais, cujo conjunto é uma sequência positiva infinita de inteiros N.
Mais tarde, com o desenvolvimento da matemática como ciência, houve a necessidade de um campo separado de inteiros Z - inclui valores negativos e zero. Seu aparecimento no nível doméstico foi provocado pelo fato de que na contabilidade primária era necessário corrigir de alguma formadívidas e perdas. Em um nível científico, os números negativos tornaram possível resolver as equações lineares mais simples. Entre outras coisas, a imagem de um sistema de coordenadas trivial tornou-se agora possível, desde que um ponto de referência apareceu.
O passo seguinte foi a necessidade de introduzir os números fracionários, pois a ciência não parou, cada vez mais descobertas exigiam uma base teórica para um novo impulso de crescimento. Assim surgiu o corpo dos números racionais Q.
Finalmente, a racionalidade deixou de satisfazer os pedidos, pois todas as novas conclusões exigiam justificativa. Surgiu o campo dos números reais R, os trabalhos de Euclides sobre a incomensurabilidade de certas quantidades devido à sua irracionalidade. Ou seja, os antigos matemáticos gregos posicionavam o número não apenas como uma constante, mas também como uma quantidade abstrata, que se caracteriza pela razão de quantidades incomensuráveis. Devido ao fato de que os números reais apareceram, quantidades como "pi" e "e" "viram a luz", sem as quais a matemática moderna não poderia ocorrer.
A inovação final foi o número complexo C. Ele respondeu a uma série de perguntas e refutou os postulados introduzidos anteriormente. Devido ao rápido desenvolvimento da álgebra, o resultado era previsível - ter números reais, resolver muitos problemas era impossível. Por exemplo, graças aos números complexos, a teoria das cordas e do caos se destacou e as equações da hidrodinâmica se expandiram.
Teoria dos conjuntos. Cantor
O conceito de infinito em todos os momentoscausou polêmica, pois não podia ser provada nem refutada. No contexto da matemática, que operava com postulados rigorosamente verificados, isso se manifestava com mais clareza, especialmente porque o aspecto teológico ainda tinha peso na ciência.
No entanto, graças ao trabalho do matemático Georg Kantor, tudo se encaixou ao longo do tempo. Ele provou que há um número infinito de conjuntos infinitos e que o campo R é maior que o campo N, mesmo que ambos não tenham fim. Em meados do século 19, suas ideias eram chamadas de absurdo e um crime contra os cânones clássicos e inabaláveis, mas o tempo colocou tudo em seu lugar.
Propriedades básicas do campo R
Os números reais não só possuem as mesmas propriedades dos subconjuntos que neles estão incluídos, mas também são complementados por outros devido à escala de seus elementos:
- Zero existe e pertence ao campo R. c + 0=c para qualquer c de R.
- Zero existe e pertence ao campo R. c x 0=0 para qualquer c de R.
- A relação c: d para d ≠ 0 existe e é válida para qualquer c, d de R.
- O campo R é ordenado, ou seja, se c ≦ d, d ≦ c, então c=d para qualquer c, d de R.
- Adição no campo R é comutativa, ou seja, c + d=d + c para qualquer c, d de R.
- A multiplicação no campo R é comutativa, ou seja, c x d=d x c para qualquer c, d de R.
- Adição no campo R é associativa, ou seja, (c + d) + f=c + (d + f) para qualquer c, d, f de R.
- A multiplicação no campo R é associativa, ou seja, (c x d) x f=c x (d x f) para qualquer c, d, f de R.
- Para cada número no campo R, existe um oposto, tal que c + (-c)=0, onde c, -c é de R.
- Para cada número do corpo R existe o seu inverso, tal que c x c-1 =1, onde c, c-1 de R.
- A unidade existe e pertence a R, então c x 1=c, para qualquer c de R.
- A lei de distribuição é válida, então c x (d + f)=c x d + c x f, para qualquer c, d, f de R.
- No campo R, zero não é igual a um.
- O campo R é transitivo: se c ≦ d, d ≦ f, então c ≦ f para qualquer c, d, f de R.
- No campo R, ordem e adição estão relacionadas: se c ≦ d, então c + f ≦ d + f para qualquer c, d, f de R.
- No campo R, ordem e multiplicação estão relacionadas: se 0 ≦ c, 0 ≦ d, então 0 ≦ c x d para qualquer c, d de R.
- Os números reais negativos e positivos são contínuos, ou seja, para qualquer c, d de R, existe um f de R tal que c ≦ f ≦ d.
Módulo no campo R
Os números reais incluem o módulo.
Denotado como |f| para qualquer f de R. |f|=f se 0 ≦ f e |f|=-f se 0 > f. Se considerarmos o módulo como uma quantidade geométrica, então é a distância percorrida - não importa se você “passou” de zero para menos ou avançou para mais.
Números complexos e reais. Quais são as semelhanças e quais são as diferenças?
Em geral, números complexos e reais são a mesma coisa, exceto queunidade imaginária i, cujo quadrado é -1. Os elementos dos campos R e C podem ser representados pela seguinte fórmula:
c=d + f x i, onde d, f pertencem ao corpo R ei é a unidade imaginária
Para obter c de R neste caso, f é simplesmente igual a zero, ou seja, apenas a parte real do número permanece. Devido ao fato de que o corpo dos números complexos tem o mesmo conjunto de propriedades que o corpo dos números reais, f x i=0 se f=0.
Em relação às diferenças práticas, por exemplo, no campo R, a equação quadrática não se resolve se o discriminante for negativo, enquanto o campo C não impõe tal restrição devido à introdução da unidade imaginária i.
Resultados
Os "tijolos" dos axiomas e postulados nos quais a matemática se baseia não mudam. Devido ao aumento de informações e à introdução de novas teorias, são colocados os seguintes "tijolos" em algumas delas, que no futuro podem se tornar a base para o próximo passo. Por exemplo, os números naturais, apesar de serem um subconjunto do corpo real R, não perdem sua relevância. É neles que se baseia toda a aritmética elementar, com a qual começa o conhecimento humano do mundo.
Do ponto de vista prático, os números reais parecem uma linha reta. Nele você pode escolher a direção, designar a origem e o passo. Uma linha reta consiste em um número infinito de pontos, cada um dos quais corresponde a um único número real, independentemente de ser racional ou não. Fica claro pela descrição que estamos falando de um conceito sobre o qual tanto a matemática em geral quanto a análise matemática em geral são construídas.particular.
