O tema "progressão aritmética" é estudado no curso geral de álgebra nas escolas do 9º ano. Este tópico é importante para um estudo mais aprofundado da matemática das séries numéricas. Neste artigo, conheceremos a progressão aritmética, sua diferença, bem como as tarefas típicas que os alunos podem enfrentar.
O conceito de progressão algébrica
Progressão numérica é uma sequência de números em que cada elemento subsequente pode ser obtido do anterior, se alguma lei matemática for aplicada. Existem dois tipos simples de progressão: geométrica e aritmética, que também é chamada de algébrica. Vamos nos debruçar sobre isso com mais detalhes.
Vamos imaginar um número racional, denotado pelo símbolo a1, onde o índice indica seu número ordinal na série em consideração. Vamos adicionar algum outro número a a1 , vamos denotar d. Então o segundoum elemento de uma série pode ser refletido da seguinte forma: a2=a1+d. Agora adicione d novamente, temos: a3=a2+d. Continuando esta operação matemática, você pode obter toda uma série de números, que será chamada de progressão aritmética.
Como pode ser entendido acima, para encontrar o n-ésimo elemento desta sequência, você deve usar a fórmula: a =a1+ (n -1)d. De fato, substituindo n=1 na expressão, obtemos a1=a1, se n=2, então a fórmula implica: a2=a1 + 1d, e assim por diante.
Por exemplo, se a diferença de uma progressão aritmética for 5 e a1=1, isso significa que a série numérica do tipo em questão se parece com: 1, 6, 11, 16, 21, … Como você pode ver, cada um de seus termos é maior que o anterior em 5.
Fórmulas para a diferença da progressão aritmética
Da definição acima da série de números considerada, segue-se que para determiná-la, você precisa conhecer dois números: a1 e d. Este último é chamado a diferença desta progressão. Ele determina exclusivamente o comportamento de toda a série. De fato, se d for positivo, a série numérica aumentará constantemente, pelo contrário, no caso de d negativo, os números da série aumentarão apenas módulo, enquanto seu valor absoluto diminuirá com o aumento do número n.
Qual é a diferença da progressão aritmética? Considere as duas fórmulas principais usadas para calcular esse valor:
- d=an+1-a , esta fórmula segue diretamente da definição da série numérica em questão.
- d=(-a1+a)/(n-1), esta expressão é obtida expressando d da fórmula dada no parágrafo anterior do artigo. Observe que esta expressão se torna indeterminada (0/0) se n=1. Isso se deve ao fato de que é necessário conhecer pelo menos 2 elementos da série para determinar sua diferença.
Estas duas fórmulas básicas são usadas para resolver qualquer problema de encontrar a diferença de progressão. No entanto, há outra fórmula que você também precisa conhecer.
Soma dos primeiros elementos
A fórmula que pode ser usada para determinar a soma de qualquer número de membros de uma progressão algébrica, de acordo com evidências históricas, foi obtida pela primeira vez pelo "príncipe" da matemática do século XVIII, Carl Gauss. Um cientista alemão, ainda menino nas séries primárias de uma escola de aldeia, notou que para somar números naturais na série de 1 a 100, você deve primeiro somar o primeiro elemento e o último (o valor resultante será igual à soma do penúltimo e segundo, penúltimo e terceiro elementos, e assim por diante), e então esse número deve ser multiplicado pelo número desses valores, ou seja, por 50.
A fórmula que reflete o resultado declarado em um exemplo particular pode ser generalizada para um caso arbitrário. Ficará assim: S =n/2(a +a1). Observe que, para encontrar o valor especificado, não é necessário o conhecimento da diferença d,se dois termos da progressão são conhecidos (a e a1).
Exemplo 1. Determine a diferença, conhecendo os dois termos da série a1 e an
Vamos mostrar como aplicar as fórmulas mencionadas acima no artigo. Vamos dar um exemplo simples: a diferença da progressão aritmética é desconhecida, é necessário determinar a que será igual se a13=-5, 6 e a1 =-12, 1.
Como sabemos os valores de dois elementos da sequência numérica, e um deles é o primeiro número, podemos usar a fórmula nº 2 para determinar a diferença d. Temos: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Na expressão, usamos o valor n=13, pois o membro com este número de série é conhecido.
A diferença resultante indica que a progressão é crescente, apesar de os elementos dados na condição do problema terem valor negativo. Pode-se ver que a13>a1, embora |a13|<|a 1 |.
Exemplo 2. Membros positivos da progressão no exemplo 1
Vamos usar o resultado obtido no exemplo anterior para resolver um novo problema. Ele é formulado da seguinte forma: a partir de qual número de sequência os elementos da progressão no exemplo 1 começam a ter valores positivos?
Como mostrado, a progressão em que a1=-12, 1 e d=0. 54167 está aumentando, então de algum número os números começarão a assumir apenas positivos valores. Para determinar esse número n, deve-se resolver uma inequação simples, que ématematicamente escrito da seguinte forma: a >0 ou, usando a fórmula apropriada, reescrevemos a desigualdade: a1 + (n-1)d>0. É necessário encontrar o n desconhecido, vamos expressá-lo: n>-1a1/d + 1. Agora resta substituir os valores conhecidos da diferença e o primeiro membro da sequência. Obtemos: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 ou n>23, 338. Como n só pode receber valores inteiros, segue-se da desigualdade resultante que quaisquer membros da série que tem um número maior que 23 será positivo.
Verifique sua resposta usando a fórmula acima para calcular os 23º e 24º elementos desta progressão aritmética. Temos: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (número negativo); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (valor positivo). Assim, o resultado obtido está correto: a partir de n=24, todos os membros da série numérica serão maiores que zero.
Exemplo 3. Quantas toras cabem?
Vamos dar um problema curioso: durante a extração, optou-se por empilhar as toras serradas umas sobre as outras conforme mostra a figura abaixo. Quantos logs podem ser empilhados dessa forma, sabendo que 10 linhas caberão no total?
Nesta forma de empilhar logs, você pode notar uma coisa interessante: cada linha subsequente conterá um log a menos que a anterior, ou seja, há uma progressão algébrica, cuja diferença é d=1. Supondo que o número de toras em cada linha seja um membro dessa progressão,e também dado que a1=1 (apenas um log caberá no topo), encontramos o número a10. Temos: a10=1 + 1(10-1)=10. Ou seja, na 10ª linha, que fica no chão, haverá 10 toras.
A quantidade total desta construção "piramidal" pode ser obtida usando a fórmula de Gauss. Obtemos: S10=10/2(10+1)=55 logs.
