A capacidade de determinar o volume de figuras espaciais é importante para resolver problemas geométricos e práticos. Uma dessas figuras é um prisma. Vamos considerar no artigo o que é e mostrar como calcular o volume de um prisma inclinado.
O que significa um prisma em geometria?
Este é um poliedro regular (poliedro), que é formado por duas bases idênticas localizadas em planos paralelos, e vários paralelogramos conectando as bases marcadas.
Bases prismáticas podem ser polígonos arbitrários, como triângulo, quadrilátero, heptágono e assim por diante. Além disso, o número de cantos (lados) do polígono determina o nome da figura.
Qualquer prisma com uma base n-gon (n é o número de lados) consiste em n+2 faces, 2 × n vértices e 3 × n arestas. A partir dos números dados, pode-se ver que o número de elementos do prisma corresponde ao teorema de Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
A imagem abaixo mostra como são os prismas triangulares e quadrangulares feitos de vidro.
Tipos de figura. Prisma inclinado
Já foi dito acima que o nome de um prisma é determinado pelo número de lados do polígono na base. No entanto, existem outras características em sua estrutura que determinam as propriedades da figura. Portanto, se todos os paralelogramos que formam a superfície lateral do prisma são representados por retângulos ou quadrados, essa figura é chamada de linha reta. Para um prisma reto, a distância entre as bases é igual ao comprimento da aresta lateral de qualquer retângulo.
Se alguns ou todos os lados são paralelogramos, então estamos falando de um prisma inclinado. Sua altura já será menor que o comprimento da nervura lateral.
Outro critério pelo qual as figuras consideradas são classificadas são os comprimentos dos lados e os ângulos do polígono na base. Se forem iguais, o polígono estará correto. Uma figura reta com um polígono regular nas bases é chamada de regular. É conveniente trabalhar com ele ao determinar a área e o volume da superfície. Um prisma inclinado nesse sentido apresenta algumas dificuldades.
A figura abaixo mostra dois prismas de base quadrada. O ângulo de 90° mostra a diferença fundamental entre um prisma reto e um oblíquo.
Fórmula para determinar o volume de uma figura
Parte do espaço limitada pelas faces de um prisma é chamada de volume. Para as figuras consideradas de qualquer tipo, este valor pode ser determinado pela seguinte fórmula:
V=h × So
Aqui, o símbolo h denota a altura do prisma,que é uma medida da distância entre duas bases. Símbolo So- um quadrado de base.
A área da base é fácil de encontrar. Dado o fato de o polígono ser regular ou não, e sabendo o número de seus lados, você deve aplicar a fórmula apropriada e obter So. Por exemplo, para um n-gon regular com comprimento de lado a, a área será:
S=n/4 × a2 × ctg (pi/n)
Agora vamos para a altura h. Para um prisma reto, determinar a altura não é difícil, mas para um prisma oblíquo, essa não é uma tarefa fácil. Pode ser resolvido por vários métodos geométricos, a partir de condições iniciais específicas. No entanto, existe uma maneira universal de determinar a altura de uma figura. Vamos descrevê-lo brevemente.
A ideia é encontrar a distância de um ponto no espaço a um plano. Suponha que o plano seja dado pela equação:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Então o avião estará à distância:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Se os eixos coordenados estiverem dispostos de modo que o ponto (0; 0; 0) esteja no plano da base inferior do prisma, então a equação para o plano base pode ser escrita da seguinte forma:
z=0
Isso significa que a fórmula para a altura será escritaentão:
h=z1
Basta encontrar a coordenada z de qualquer ponto da base superior para determinar a altura da figura.
Exemplo de resolução de problemas
A figura abaixo mostra um prisma quadrangular. A base de um prisma inclinado é um quadrado com um lado de 10 cm. É necessário calcular seu volume se souber que o comprimento da borda lateral é de 15 cm e o ângulo agudo do paralelogramo frontal é de 70 °.
Como a altura h da figura também é a altura do paralelogramo, usamos fórmulas para determinar sua área para encontrar h. Vamos denotar os lados do paralelogramo da seguinte forma:
a=10cm;
b=15cm
Então você pode escrever as seguintes fórmulas para determinar a área Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
De onde obtemos:
h=b × sen (α)
Aqui α é um ângulo agudo do paralelogramo. Como a base é um quadrado, a fórmula para o volume de um prisma inclinado terá a forma:
V=a2 × b × sen (α)
Substituímos os dados da condição na fórmula e obtemos a resposta: V ≈ 1410 cm3.
