Prism é uma figura geométrica tridimensional bastante simples. No entanto, alguns escolares têm problemas em determinar suas principais propriedades, cuja causa, via de regra, está associada a terminologia usada incorretamente. Neste artigo, consideraremos o que são prismas, como são chamados e também descreveremos em detalhes o prisma quadrangular correto.
Prisma em geometria
O estudo de figuras tridimensionais é uma tarefa da estereometria - uma parte importante da geometria espacial. Na estereometria, um prisma é entendido como tal figura, que é formada pela translação paralela de um polígono plano arbitrário a uma certa distância no espaço. A translação paralela implica um movimento no qual a rotação em torno de um eixo perpendicular ao plano do polígono é completamente excluída.
Como resultado do método descrito de obtenção de um prisma, forma-se uma figura, limitada por doispolígonos com as mesmas dimensões, situados em planos paralelos, e um certo número de paralelogramos. Seu número coincide com o número de lados (vértices) do polígono. Polígonos idênticos são chamados de bases do prisma e sua área de superfície é a área das bases. Os paralelogramos conectando duas bases formam uma superfície lateral.
Elementos prismáticos e teorema de Euler
Como a figura tridimensional em questão é um poliedro, ou seja, é formada por um conjunto de planos que se cruzam, ela é caracterizada por um certo número de vértices, arestas e faces. Eles são todos elementos de um prisma.
Em meados do século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler estabeleceu uma conexão entre o número de elementos básicos de um poliedro. Esta relação é escrita com a seguinte fórmula simples:
Número de arestas=número de vértices + número de faces - 2
Para qualquer prisma, esta igualdade é verdadeira. Vamos dar um exemplo de seu uso. Suponha que haja um prisma quadrangular regular. Ela está na foto abaixo.
Pode-se ver que o número de vértices para ela é 8 (4 para cada base quadrangular). O número de lados ou faces é 6 (2 bases e 4 retângulos laterais). Então o número de arestas para ele será:
Número de costelas=8 + 6 - 2=12
Todos eles podem ser contados se você se referir à mesma imagem. Oito arestas estão nas bases e quatro arestas são perpendiculares a essas bases.
Classificação completa de prismas
É importante entender essa classificação para que você não se confunda na terminologia posteriormente e use as fórmulas corretas para calcular, por exemplo, a área da superfície ou o volume das figuras.
Para qualquer prisma de forma arbitrária, podem-se distinguir 4 feições que o caracterizarão. Vamos listá-los:
- Pelo número de vértices do polígono na base: triangular, pentagonal, octogonal e assim por diante.
- Tipo de polígono. Pode estar certo ou errado. Por exemplo, um triângulo retângulo é irregular, mas um triângulo equilátero é correto.
- De acordo com o tipo de convexidade do polígono. Pode ser côncavo ou convexo. Prismas convexos são os mais comuns.
- Nos ângulos entre as bases e os paralelogramos laterais. Se todos esses ângulos são iguais a 90o, então eles falam de um prisma reto, se nem todos eles são retos, então tal figura é chamada de oblíqua.
De todos esses pontos, gostaria de me deter no último. Um prisma reto também é chamado de prisma retangular. Isso se deve ao fato de que para ele os paralelogramos são retângulos no caso geral (em alguns casos podem ser quadrados).
Por exemplo, a figura acima mostra uma figura pentagonal côncava retangular ou reta.
Prisma quadrangular regular
A base deste prisma é um quadrilátero regular, ou seja, um quadrado. A figura acima já mostrou como é esse prisma. Além dos dois quadrados que elalimite superior e inferior, também inclui 4 retângulos.
Vamos denotar o lado da base de um prisma quadrangular regular pela letra a, o comprimento de sua aresta lateral será denotado pela letra c. Este comprimento é também a altura da figura. Então a área de toda a superfície deste prisma é expressa pela fórmula:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Aqui o primeiro termo reflete a contribuição das bases para a área total, o segundo termo é a área da superfície lateral.
Tendo em conta a notação introduzida para os comprimentos dos lados, escrevemos a fórmula para o volume da figura em questão:
V=a2c
Ou seja, o volume é calculado como o produto da área da base quadrada pelo comprimento da aresta lateral.
Formato de cubo
Todo mundo conhece essa figura tridimensional ideal, mas poucas pessoas pensaram que se trata de um prisma quadrangular regular, cujo lado é igual ao comprimento do lado da base quadrada, ou seja, c=a.
Para um cubo, as fórmulas para a área total da superfície e o volume terão a forma:
S=6a2
V=a3
Como o cubo é um prisma formado por 6 quadrados idênticos, qualquer par paralelo deles pode ser considerado uma base.
Cube é uma figura altamente simétrica, que na natureza é realizada na forma de treliças de cristal de muitos materiais metálicos e cristais iônicos. Por exemplo, treliças de ouro, prata, cobre e mesaos sais são cúbicos.
