Em matemática, funções inversas são expressões mutuamente correspondentes que se transformam umas nas outras. Para entender o que isso significa, vale a pena considerar um exemplo específico. Digamos que temos y=cos(x). Se pegarmos o cosseno do argumento, podemos encontrar o valor de y. Obviamente, para isso você precisa ter x. Mas e se o jogador for inicialmente dado? É aqui que chega ao cerne da questão. Para resolver o problema, é necessário o uso de uma função inversa. No nosso caso, este é o arco cosseno.
Após todas as transformações, obtemos: x=arccos(y).
Ou seja, para encontrar uma função inversa a uma dada, basta apenas expressar um argumento a partir dela. Mas isso só funciona se o resultado tiver um único valor (mais sobre isso depois).
Em termos gerais, esse fato pode ser escrito da seguinte forma: f(x)=y, g(y)=x.
Definição
Seja f uma função cujo domínio é o conjunto X, eo intervalo de valores é o conjunto Y. Então, se existe g cujos domínios realizam tarefas opostas, então f é reversível.
Além disso, neste caso g é único, o que significa que existe exatamente uma função que satisfaz essa propriedade (nem mais, nem menos). Então ela é chamada de função inversa, e por escrito ela é denotada da seguinte forma: g(x)=f -1(x).
Em outras palavras, eles podem ser vistos como uma relação binária. A reversibilidade ocorre apenas quando um elemento do conjunto corresponde a um valor de outro.
Nem sempre existe uma função inversa. Para fazer isso, cada elemento y є Y deve corresponder a no máximo um x є X. Então f é chamado de injetora ou injeção. Se f -1 pertence a Y, então cada elemento deste conjunto deve corresponder a algum x ∈ X. Funções com esta propriedade são chamadas sobrejeções. É válido por definição se Y for uma imagem f, mas nem sempre é o caso. Para ser inversa, uma função deve ser tanto uma injeção quanto uma sobrejeção. Tais expressões são chamadas de bijeções.
Exemplo: funções quadradas e raiz
A função é definida em [0, ∞) e dada pela fórmula f (x)=x2.
Então não é injetivo, porque todo resultado possível Y (exceto 0) corresponde a dois X's diferentes - um positivo e um negativo, portanto não é reversível. Neste caso, será impossível obter os dados iniciais dos recebidos, o que contrariateorias. Será não-injetivo.
Se o domínio de definição for condicionalmente limitado a valores não negativos, então tudo funcionará como antes. Então é bijetivo e, portanto, invertível. A função inversa aqui é chamada de positiva.
Nota na entrada
Deixe a designação f -1 (x) pode confundir uma pessoa, mas em nenhum caso deve ser usada assim: (f (x)) - 1 . Refere-se a um conceito matemático completamente diferente e não tem nada a ver com a função inversa.
Como regra geral, alguns autores usam expressões como sin-1 (x).
No entanto, outros matemáticos acreditam que isso pode causar confusão. Para evitar tais dificuldades, as funções trigonométricas inversas são frequentemente indicadas com o prefixo "arco" (do latim arco). No nosso caso, estamos falando do arco-seno. Você também pode ocasionalmente ver o prefixo "ar" ou "inv" para algumas outras funções.
