É improvável que muitas pessoas pensem se é possível calcular eventos mais ou menos aleatórios. Em termos simples, é realista saber qual lado do dado cairá em seguida. Foi essa pergunta que dois grandes cientistas fizeram, que lançaram as bases para uma ciência como a teoria da probabilidade, na qual a probabilidade de um evento é estudada extensivamente.
Origem
Se você tentar definir tal conceito como teoria da probabilidade, obterá o seguinte: este é um dos ramos da matemática que estuda a constância de eventos aleatórios. É claro que esse conceito não revela realmente toda a essência, por isso é necessário considerá-lo com mais detalhes.
Gostaria de começar com os criadores da teoria. Como mencionado acima, havia dois deles, estes são Pierre Fermat e Blaise Pascal. Foram eles que estiveram entre os primeiros que tentaram calcular o resultado de um evento usando fórmulas e cálculos matemáticos. De modo geral, os rudimentos desta ciência apareceram tão cedo quantoMeia idade. Naquela época, vários pensadores e cientistas tentaram analisar jogos de azar, como roleta, dados e assim por diante, estabelecendo assim um padrão e porcentagem de um determinado número caindo. A fundação foi lançada no século XVII pelos cientistas acima mencionados.
A princípio, seu trabalho não podia ser atribuído às grandes conquistas nesse campo, pois tudo o que faziam eram simplesmente fatos empíricos, e os experimentos eram montados visualmente, sem o uso de fórmulas. Com o tempo, acabou obtendo ótimos resultados, que surgiram como resultado da observação do lançamento de dados. Foi esta ferramenta que ajudou a derivar as primeiras fórmulas inteligíveis.
Associados
É impossível não mencionar uma pessoa como Christian Huygens, no processo de estudar um tópico chamado "teoria da probabilidade" (a probabilidade de um evento é abordada precisamente nesta ciência). Essa pessoa é muito interessante. Ele, como os cientistas apresentados acima, tentou derivar a regularidade de eventos aleatórios na forma de fórmulas matemáticas. Vale ress altar que ele não fez isso junto com Pascal e Fermat, ou seja, todas as suas obras não cruzaram de forma alguma com essas mentes. Huygens derivou os conceitos básicos da teoria da probabilidade.
Um fato interessante é que seu trabalho saiu muito antes dos resultados do trabalho dos pioneiros, ou melhor, vinte anos antes. Entre os conceitos designados, os mais famosos são:
- o conceito de probabilidade como magnitude do acaso;
- expectativa para discretacasos;
- teoremas de multiplicação e adição de probabilidades.
Também é impossível não lembrar de Jacob Bernoulli, que também contribuiu significativamente para o estudo do problema. Realizando seus próprios testes, independente de qualquer um, ele conseguiu apresentar uma prova da lei dos grandes números. Por sua vez, os cientistas Poisson e Laplace, que trabalharam no início do século XIX, conseguiram provar os teoremas originais. Foi a partir deste momento que a teoria das probabilidades começou a ser usada para analisar erros no decorrer das observações. Os cientistas russos, ou melhor, Markov, Chebyshev e Dyapunov, também não conseguiram contornar essa ciência. Com base no trabalho feito pelos grandes gênios, eles fixaram esse assunto como um ramo da matemática. Essas figuras funcionavam já no final do século XIX, e graças à sua contribuição, fenômenos como:
- lei dos grandes números;
- Teoria da cadeia de Markov;
- teorema do limite central.
Então, com a história do nascimento da ciência e com as principais pessoas que a influenciaram, tudo fica mais ou menos claro. Agora é hora de concretizar todos os fatos.
Conceitos básicos
Antes de tocar em leis e teoremas, vale a pena estudar os conceitos básicos da teoria das probabilidades. O evento assume o papel principal nele. Este tópico é bastante volumoso, mas sem ele não será possível entender todo o resto.
Um evento na teoria da probabilidade é qualquer conjunto de resultados de um experimento. Não há tantos conceitos desse fenômeno. Então, cientista Lotman,trabalhando nesta área, disse que neste caso estamos falando de algo que “aconteceu, embora possa não ter acontecido.”
Eventos aleatórios (a teoria da probabilidade presta atenção especial a eles) é um conceito que implica absolutamente qualquer fenômeno que tenha a capacidade de ocorrer. Ou, inversamente, esse cenário pode não acontecer quando muitas condições forem atendidas. Também vale a pena saber que são eventos aleatórios que capturam todo o volume de fenômenos que ocorreram. A teoria da probabilidade indica que todas as condições podem ser repetidas constantemente. Foi a conduta deles que foi chamada de "experiência" ou "teste".
Um determinado evento é aquele que acontecerá 100% em um determinado teste. Assim, um evento impossível é aquele que não acontecerá.
A combinação de um par de ações (convencionalmente caso A e caso B) é um fenômeno que ocorre simultaneamente. Eles são designados como AB.
A soma dos pares de eventos A e B é C, ou seja, se pelo menos um deles acontecer (A ou B), então será obtido C. A fórmula do fenômeno descrito é escrita da seguinte forma: C=A + B.
Eventos disjuntos na teoria da probabilidade implicam que dois casos são mutuamente exclusivos. Eles nunca podem acontecer ao mesmo tempo. Os eventos conjuntos na teoria das probabilidades são seus antípodas. Isso implica que se A aconteceu, então não interfere com B.
Eventos opostos (a teoria da probabilidade lida com eles em grande detalhe) são fáceis de entender. É melhor lidar com eles em comparação. São quase iguaise eventos incompatíveis na teoria da probabilidade. Mas sua diferença está no fato de que um dos muitos fenômenos deve acontecer de qualquer maneira.
Eventos equivalentes são aquelas ações cuja possibilidade é igual. Para deixar mais claro, podemos imaginar o lançamento de uma moeda: a queda de um de seus lados tem a mesma probabilidade de cair do outro.
Auspicious event é mais fácil de ver com um exemplo. Digamos que haja o episódio B e o episódio A. O primeiro é o lançamento dos dados com a aparência de um número ímpar, e o segundo é o aparecimento do número cinco no dado. Então acontece que A favorece B.
Eventos independentes na teoria das probabilidades são projetados apenas em dois ou mais casos e implicam a independência de qualquer ação de outra. Por exemplo, A é a perda de coroa quando uma moeda é lançada e B é a retirada de um valete do baralho. Eles são eventos independentes na teoria da probabilidade. Com este momento ficou mais claro.
Eventos dependentes na teoria da probabilidade também são admissíveis apenas para seu conjunto. Implicam a dependência de um do outro, ou seja, o fenômeno B só pode ocorrer se A já aconteceu ou, ao contrário, não aconteceu, quando esta é a condição principal para B.
O resultado de um experimento aleatório consistindo de um componente são eventos elementares. A teoria da probabilidade explica que este é um fenômeno que aconteceu apenas uma vez.
Fórmulas básicas
Então, os conceitos de "evento", "teoria da probabilidade",também foi dada a definição dos termos básicos desta ciência. Agora é hora de se familiarizar diretamente com as fórmulas importantes. Essas expressões confirmam matematicamente todos os principais conceitos em um assunto tão difícil como a teoria das probabilidades. A probabilidade de um evento também desempenha um grande papel aqui.
Melhor começar com as fórmulas básicas da combinatória. E antes de prosseguir com eles, vale a pena considerar o que é.
Combinatória é principalmente um ramo da matemática, lida com o estudo de um grande número de inteiros, bem como várias permutações dos próprios números e seus elementos, vários dados, etc., levando ao aparecimento de uma série de combinações. Além da teoria da probabilidade, esse ramo é importante para estatística, ciência da computação e criptografia.
Então agora podemos passar a apresentar as próprias fórmulas e defini-las.
A primeira será a expressão para o número de permutações, fica assim:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Equação se aplica somente se os elementos diferem apenas na ordem.
Agora a fórmula de posicionamento será considerada, fica assim:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Esta expressão se aplica não apenas à ordem do elemento, mas também à sua composição.
A terceira equação da combinatória, e também a última, é chamada de fórmula do número de combinações:
C_n^m=n !: ((n-m))!:m !
Combinações são seleções que não são ordenadas, respectivamente, e esta regra se aplica a elas.
Acabou sendo fácil descobrir as fórmulas da combinatória, agora podemos passar para a definição clássica de probabilidades. Esta expressão fica assim:
P(A)=m: n.
Nesta fórmula, m é o número de condições favoráveis ao evento A, e n é o número de absolutamente todos os resultados igualmente possíveis e elementares.
Existem um grande número de expressões, o artigo não cobrirá todas elas, mas as mais importantes delas serão abordadas, como, por exemplo, a probabilidade da soma dos eventos:
P(A + B)=P(A) + P(B) - este teorema é para adicionar apenas eventos incompatíveis;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - e este é para adicionar apenas os compatíveis.
Probabilidade de produzir eventos:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – este teorema é para eventos independentes;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - e este é para viciados.
A fórmula do evento encerra a lista. A teoria da probabilidade nos fala sobre o teorema de Bayes, que se parece com isso:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Nesta fórmula, H1, H2, …, H é o grupo completo de hipóteses.
Vamos parar por aqui, então exemplos de aplicação de fórmulas para resolver problemas específicos da prática serão considerados.
Exemplos
Se você estudar cuidadosamente qualquer seçãomatemática, não dispensa exercícios e exemplos de soluções. Assim é a teoria da probabilidade: eventos, exemplos aqui são um componente integral que confirma cálculos científicos.
Fórmula para o número de permutações
Digamos que há trinta cartas em um baralho de cartas, começando com o valor nominal um. Próxima questão. Quantas maneiras existem de empilhar o baralho para que as cartas com valor nominal de um e dois não fiquem uma ao lado da outra?
A tarefa foi definida, agora vamos resolvê-la. Primeiro você precisa determinar o número de permutações de trinta elementos, para isso pegamos a fórmula acima, verifica-se P_30=30!.
Com base nesta regra, descobriremos quantas opções existem para dobrar o baralho de diferentes maneiras, mas precisamos subtrair delas aquelas em que a primeira e a segunda cartas são as próximas. Para fazer isso, vamos começar com a opção quando a primeira estiver acima da segunda. Acontece que a primeira carta pode ocupar vinte e nove lugares - do primeiro ao vigésimo nono, e o segundo cartão do segundo ao trigésimo, resulta em vinte e nove lugares para um par de cartas. Por sua vez, o resto pode ocupar vinte e oito lugares, e em qualquer ordem. Ou seja, para uma permutação de vinte e oito cartas, existem vinte e oito opções P_28=28!
Como resultado, verifica-se que se considerarmos a solução quando a primeira carta estiver sobre a segunda, existem 29 ⋅ 28 possibilidades extras!=29!
Usando o mesmo método, você precisa calcular o número de opções redundantes para o caso em que a primeira placa está abaixo da segunda. Acontece também 29 ⋅ 28!=29!
Segue que existem 2 ⋅ 29 opções extras!, enquanto existem 30 maneiras obrigatórias de construir um deck! - 2 ⋅ 29!. Resta apenas contar.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Agora você precisa multiplicar todos os números de um a vinte e nove juntos e, no final, multiplicar tudo por 28. A resposta é 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Solução do exemplo. Fórmula para o número da veiculação
Neste problema, você precisa descobrir quantas maneiras existem para colocar quinze volumes em uma prateleira, mas sob a condição de que haja trinta volumes no total.
Este problema tem uma solução um pouco mais fácil do que o anterior. Usando a fórmula já conhecida, é necessário calcular o número total de locais de trinta volumes de quinze.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
A resposta, respectivamente, será 202 843 204 931 727 360 000.
Agora vamos tornar a tarefa um pouco mais difícil. Você precisa descobrir quantas maneiras existem para organizar trinta livros em duas estantes, contanto que apenas quinze volumes possam estar em uma prateleira.
Antes de iniciar a solução, gostaria de esclarecer que alguns problemas são resolvidos de várias maneiras, então há duas maneiras nesta, mas a mesma fórmula é usada em ambas.
Neste problema, você pode pegar a resposta do anterior, pois ali calculamos quantas vezes você pode encher uma estante com quinze livros por-diferente. Acabou que A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Vamos calcular a segunda prateleira usando a fórmula da permutação, pois nela estão colocados quinze livros, enquanto restam apenas quinze. Use a fórmula P_15=15!.
Acontece que o total será A_30^15 ⋅ P_15 maneiras, mas, além disso, o produto de todos os números de trinta a dezesseis terá que ser multiplicado pelo produto dos números de um a quinze, pois um resultado, o produto de todos os números de um a trinta, então a resposta é 30!
Mas este problema pode ser resolvido de uma maneira diferente - mais fácil. Para fazer isso, você pode imaginar que há uma prateleira para trinta livros. Todos eles são colocados neste plano, mas como a condição exige que haja duas prateleiras, cortamos uma longa ao meio, resultando em duas e quinze cada. A partir disso, verifica-se que as opções de posicionamento podem ser P_30=30!.
Solução do exemplo. Fórmula para número de combinação
Agora vamos considerar uma variante do terceiro problema da combinatória. Você precisa descobrir quantas maneiras existem para organizar quinze livros, desde que você precise escolher entre trinta absolutamente idênticos.
Para a solução, claro, será aplicada a fórmula do número de combinações. Da condição fica claro que a ordem dos quinze livros idênticos não é importante. Portanto, inicialmente você precisa descobrir o número total de combinações de trinta livros de quinze.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: quinze !=155 117 520
É isso. Usando esta fórmula, no menor tempo possível foi possívelresolver tal problema, a resposta, respectivamente, é 155 117 520.
Solução do exemplo. A definição clássica de probabilidade
Com a fórmula acima, você pode encontrar a resposta para um problema simples. Mas ajudará a ver visualmente e seguir o curso das ações.
É dado no problema que há dez bolas absolutamente idênticas na urna. Destes, quatro são amarelos e seis são azuis. Uma bola é retirada da urna. Você precisa descobrir a probabilidade de ficar azul.
Para resolver o problema, é necessário designar a obtenção da bola azul como evento A. Esta experiência pode ter dez resultados, que, por sua vez, são elementares e igualmente prováveis. Ao mesmo tempo, de dez, seis são favoráveis ao evento A. Resolvemos de acordo com a fórmula:
P(A)=6: 10=0, 6
Aplicando esta fórmula, descobrimos que a probabilidade de obter a bola azul é 0,6.
Solução do exemplo. Probabilidade da soma dos eventos
Agora será apresentada uma variante, que se resolve usando a fórmula da probabilidade da soma dos eventos. Assim, na condição de haver duas caixas, a primeira contém uma bola cinza e cinco bolas brancas, e a segunda contém oito bolas cinzas e quatro brancas. Como resultado, um deles foi retirado da primeira e segunda caixas. Você precisa descobrir qual é a chance de que as bolas que você recebe sejam cinza e branca.
Para resolver este problema, você precisa rotular os eventos.
- Então, A - pegue uma bola cinza da primeira caixa: P(A)=1/6.
- A' – pegue uma bola branca também da primeira caixa: P(A')=5/6.
- B – a bola cinza já foi retirada da segunda caixa: P(B)=2/3.
- B' – pegue uma bola cinza da segunda caixa: P(B')=1/3.
De acordo com a condição do problema, um dos fenômenos deve acontecer: AB' ou A'B. Usando a fórmula, temos: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Agora a fórmula de multiplicação de probabilidade foi usada. Em seguida, para descobrir a resposta, você precisa aplicar a equação para sua adição:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
É assim que, usando a fórmula, você pode resolver problemas semelhantes.
Result
O artigo traz informações sobre o tema "Teoria da Probabilidade", no qual a probabilidade de um evento desempenha um papel crucial. É claro que nem tudo foi levado em consideração, mas, com base no texto apresentado, pode-se teoricamente se familiarizar com essa seção da matemática. A ciência em questão pode ser útil não apenas no trabalho profissional, mas também na vida cotidiana. Com sua ajuda, você pode calcular qualquer possibilidade de qualquer evento.
O texto também abordou datas significativas na história da formação da teoria das probabilidades como ciência e os nomes das pessoas cujos trabalhos nela foram investidos. Foi assim que a curiosidade humana levou ao fato de que as pessoas aprenderam a calcular até eventos aleatórios. Antigamente eles só se interessavam, mas hoje todo mundo já conhece. E ninguém dirá o que nos espera no futuro, que outras brilhantes descobertas relacionadas à teoria em consideração serão feitas. Mas uma coisa é certa - a pesquisa não está parada!
