Desigualdades algébricas ou seus sistemas com coeficientes racionais cujas soluções são procuradas em números inteiros ou inteiros. Como regra, o número de incógnitas nas equações diofantinas é maior. Assim, elas também são conhecidas como desigualdades indefinidas. Na matemática moderna, o conceito acima é aplicado a equações algébricas cujas soluções são procuradas em inteiros algébricos de alguma extensão do campo de variáveis racionais Q, o campo de variáveis p-ádicas, etc.
As origens dessas desigualdades
O estudo das equações diofantinas está na fronteira entre a teoria dos números e a geometria algébrica. Encontrar soluções em variáveis inteiras é um dos problemas matemáticos mais antigos. Já no início do segundo milênio aC. os antigos babilônios conseguiram resolver sistemas de equações com duas incógnitas. Este ramo da matemática floresceu mais na Grécia antiga. A aritmética de Diofanto (cerca do século III d. C.) é uma fonte importante e importante que contém vários tipos e sistemas de equações.
Neste livro, Diofanto previu vários métodos para estudar as desigualdades da segunda e da terceiragraus que foram totalmente desenvolvidos no século 19. A criação da teoria dos números racionais por esse pesquisador da Grécia antiga levou à análise de soluções lógicas para sistemas indefinidos, que são sistematicamente seguidas em seu livro. Embora seu trabalho contenha soluções para equações diofantinas específicas, há razões para acreditar que ele também estava familiarizado com vários métodos gerais.
O estudo dessas desigualdades costuma estar associado a sérias dificuldades. Devido ao fato de conterem polinômios com coeficientes inteiros F (x, y1, …, y). Com base nisso, foram tiradas conclusões de que não existe um algoritmo único que possa ser usado para determinar para qualquer x se a equação F (x, y1, …., y). A situação é resolvível para y1, …, y . Exemplos de tais polinômios podem ser escritos.
A mais simples desigualdade
ax + by=1, onde a e b são números relativamente inteiros e primos, tem um grande número de execuções (se x0, y0 o resultado é formado, então o par de variáveis x=x0 + b e y=y0 -an, onde n é arbitrário, também será considerado como uma desigualdade). Outro exemplo de equações diofantinas é x2 + y2 =z2. As soluções integrais positivas desta desigualdade são os comprimentos dos pequenos lados x, y e triângulos retângulos, bem como a hipotenusa z com dimensões de lado inteiro. Esses números são conhecidos como números pitagóricos. Todos os trigêmeos em relação ao primo indicadoas variáveis acima são dadas por x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, onde m e n são números inteiros e primos (m>n>0).
Diofanto em sua Aritmética procura soluções racionais (não necessariamente integrais) de tipos especiais de suas desigualdades. Uma teoria geral para resolver equações diofantinas de primeiro grau foi desenvolvida por C. G. Baschet no século XVII. Outros cientistas no início do século 19 estudaram principalmente desigualdades semelhantes como ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, onde a, b, c, d, e e f são gerais, heterogêneos, com duas incógnitas de segundo grau. Lagrange usou frações contínuas em seu estudo. Gauss para formas quadráticas desenvolveu uma teoria geral subjacente a alguns tipos de soluções.
No estudo dessas desigualdades de segundo grau, um progresso significativo foi feito apenas no século XX. A. Thue descobriu que a equação Diofantina a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, onde n≧3, a0, …, a , c são números inteiros e a0tn + …+ a não pode ter um número infinito de soluções inteiras. No entanto, o método de Thue não foi desenvolvido adequadamente. A. Baker criou teoremas eficazes que fornecem estimativas sobre o desempenho de algumas equações desse tipo. BN Delaunay propôs outro método de investigação aplicável a uma classe mais restrita dessas desigualdades. Em particular, a forma ax3 + y3 =1 é completamente resolvível desta forma.
Equações diofantinas: métodos de solução
A teoria de Diofanto tem muitas direções. Assim, um problema bem conhecido neste sistema é a hipótese de que não existe solução não trivial das equações diofantinas xn + y =z n if n ≧ 3 (pergunta de Fermat). O estudo de cumprimentos inteiros da desigualdade é uma generalização natural do problema dos trigêmeos pitagóricos. Euler obteve uma solução positiva do problema de Fermat para n=4. Em virtude desse resultado, ele se refere à prova do número inteiro ausente, não nulo, da equação se n for um número primo ímpar.
O estudo sobre a decisão não foi concluído. As dificuldades com sua implementação estão relacionadas ao fato de que a fatoração simples no anel de inteiros algébricos não é única. A teoria dos divisores neste sistema para muitas classes de expoentes primos n permite confirmar a validade do teorema de Fermat. Assim, a equação diofantina linear com duas incógnitas é cumprida pelos métodos e formas existentes.
Tipos e tipos de tarefas descritas
Aritmética de anéis de inteiros algébricos também é usada em muitos outros problemas e soluções de equações diofantinas. Por exemplo, tais métodos foram aplicados ao preencher desigualdades da forma N(a1 x1 +…+ a x)=m, onde N(a) é a norma de a, e x1, …, xn variáveis racionais integrais são encontradas. Esta classe inclui a equação de Pell x2–dy2=1.
Os valores a1, …, a que aparecem, essas equações são divididas em dois tipos. O primeiro tipo - as chamadas formas completas - incluem equações em que entre a existem m números linearmente independentes sobre o corpo de variáveis racionais Q, onde m=[Q(a1, …, a):Q], em que há um grau de expoentes algébricos Q (a1, …, a ) sobre Q. Espécies incompletas são aquelas em qual o número máximo de a i menor que m.
Formas completas são mais simples, seu estudo é completo e todas as soluções podem ser descritas. O segundo tipo, espécie incompleta, é mais complicado, e o desenvolvimento de tal teoria ainda não foi concluído. Tais equações são estudadas usando aproximações diofantinas, que incluem a desigualdade F(x, y)=C, onde F (x, y) é um polinômio irredutível e homogêneo de grau n≧3. Assim, podemos supor que yi→∞. Assim, se yi for grande o suficiente, então a desigualdade irá contradizer o teorema de Thue, Siegel e Roth, do qual segue que F(x, y)=C, onde F é uma forma de terceiro grau ou superior, o irredutível não pode ter um número infinito de soluções.
Como resolver uma equação Diofantina?
Este exemplo é uma classe bastante restrita entre todas. Por exemplo, apesar de sua simplicidade, x3 + y3 + z3=N, e x2 +y 2 +z2 +u2 =N não estão incluídos nesta classe. O estudo de soluções é um ramo cuidadosamente estudado das equações diofantinas, onde a base é a representação por formas quadráticas de números. Lagrangecriou um teorema que diz que o cumprimento existe para todo N natural. Qualquer número natural pode ser representado como a soma de três quadrados (teorema de Gauss), mas não deve ser da forma 4a (8K-1), onde a e k são expoentes inteiros não negativos.
Soluções racionais ou integrais para um sistema de uma equação diofantina do tipo F (x1, …, x)=a, onde F (x 1, …, x) é uma forma quadrática com coeficientes inteiros. Assim, de acordo com o teorema de Minkowski-Hasse, a desigualdade ∑aijxixj=b ije b é racional, tem uma solução integral em números reais e p-ádicos para cada número primo p somente se for solúvel nesta estrutura.
Devido às dificuldades inerentes, o estudo de números com formas arbitrárias do terceiro grau e acima tem sido estudado em menor grau. O principal método de execução é o método das somas trigonométricas. Nesse caso, o número de soluções da equação é explicitamente escrito em termos da integral de Fourier. Em seguida, o método do ambiente é usado para expressar o número de cumprimento da desigualdade das congruências correspondentes. O método das somas trigonométricas depende das características algébricas das desigualdades. Há um grande número de métodos elementares para resolver equações diofantinas lineares.
Análise Diofantina
Departamento de matemática, cujo assunto é o estudo de soluções integrais e racionais de sistemas de equações de álgebra por métodos de geometria, do mesmoesferas. Na segunda metade do século XIX, o surgimento dessa teoria dos números levou ao estudo das equações diofantinas a partir de um campo arbitrário com coeficientes, e as soluções eram consideradas nele ou em seus anéis. O sistema de funções algébricas desenvolvido em paralelo com os números. A analogia básica entre os dois, que foi enfatizada por D. Hilbert e, em particular, L. Kronecker, levou à construção uniforme de vários conceitos aritméticos, que geralmente são chamados de globais.
Isso é especialmente perceptível se as funções algébricas em estudo sobre um corpo finito de constantes são uma variável. Conceitos como teoria de campo de classe, divisor e ramificação e resultados são uma boa ilustração do que foi dito acima. Esse ponto de vista foi adotado no sistema de desigualdades diofantinas somente mais tarde, e as pesquisas sistemáticas não apenas com coeficientes numéricos, mas também com coeficientes que são funções, começaram apenas na década de 1950. Um dos fatores decisivos nesta abordagem foi o desenvolvimento da geometria algébrica. O estudo simultâneo dos campos dos números e das funções, que surgem como dois aspectos igualmente importantes de um mesmo assunto, não só deu resultados elegantes e convincentes, como levou ao enriquecimento mútuo dos dois tópicos.
Na geometria algébrica, a noção de variedade é substituída por um conjunto não invariante de desigualdades sobre um determinado corpo K, e suas soluções são substituídas por pontos racionais com valores em K ou em sua extensão finita. Pode-se, portanto, dizer que o problema fundamental da geometria diofantina é o estudo dos pontos racionaisde um conjunto algébrico X(K), enquanto X são certos números no corpo K. A execução de inteiros tem um significado geométrico em equações diofantinas lineares.
Estudos de desigualdade e opções de execução
Ao estudar pontos racionais (ou integrais) em variedades algébricas, surge o primeiro problema, que é a sua existência. O décimo problema de Hilbert é formulado como o problema de encontrar um método geral para resolver este problema. No processo de criação de uma definição exata do algoritmo e depois que foi provado que não existem tais execuções para um grande número de problemas, o problema adquiriu um resultado negativo óbvio, e a questão mais interessante é a definição de classes de equações diofantinas para o qual existe o sistema acima. A abordagem mais natural, do ponto de vista algébrico, é o chamado princípio de Hasse: o corpo inicial K é estudado juntamente com suas completações Kv sobre todas as estimativas possíveis. Como X(K)=X(Kv) são uma condição necessária para a existência, e o ponto K leva em conta que o conjunto X(Kv) não está vazio para todos os v.
A importância está no fato de reunir dois problemas. O segundo é muito mais simples, é solucionável por um algoritmo conhecido. No caso particular em que a variedade X é projetiva, o lema de Hansel e suas generalizações possibilitam uma redução adicional: o problema pode ser reduzido ao estudo de pontos racionais sobre um corpo finito. Então ele decide construir um conceito por meio de pesquisas consistentes ou métodos mais eficazes.
Últimouma consideração importante é que os conjuntos X(Kv) não são vazios para todos, exceto um número finito de v, então o número de condições é sempre finito e elas podem ser efetivamente testadas. No entanto, o princípio de Hasse não se aplica a curvas de graus. Por exemplo, 3x3 + 4y3=5 tem pontos em todos os campos de números p-ádicos e no sistema de números reais, mas não tem pontos racionais.
Este método serviu como ponto de partida para a construção de um conceito descrevendo as classes dos principais espaços homogêneos das variedades abelianas para realizar um "desvio" do princípio de Hasse. É descrito em termos de uma estrutura especial que pode ser associada a cada variedade (grupo de Tate-Shafarevich). A principal dificuldade da teoria reside no fato de que métodos para calcular grupos são difíceis de obter. Este conceito também foi estendido a outras classes de variedades algébricas.
Procure um algoritmo para preencher as desigualdades
Outra ideia heurística utilizada no estudo das equações diofantinas é que se o número de variáveis envolvidas em um conjunto de desigualdades for grande, então o sistema geralmente tem uma solução. No entanto, isso é muito difícil de provar para qualquer caso particular. A abordagem geral para problemas desse tipo usa a teoria analítica dos números e é baseada em estimativas para somas trigonométricas. Este método foi originalmente aplicado a tipos especiais de equações.
No entanto, mais tarde foi provado com sua ajuda que se a forma de um grau ímpar é F, em de n variáveis e com coeficientes racionais, então n é grande o suficiente comparado a d, então a hipersuperfície projetiva F=0 tem um ponto racional.. Isso só foi comprovado para formas quadráticas. Problemas semelhantes podem ser solicitados para outros campos também. O problema central da geometria diofantina é a estrutura do conjunto de pontos inteiros ou racionais e seu estudo, e a primeira questão a ser esclarecida é se esse conjunto é finito. Neste problema, a situação geralmente tem um número finito de execuções se o grau do sistema for muito maior que o número de variáveis. Esta é a suposição básica.
Desigualdades em linhas e curvas
O grupo X(K) pode ser representado como uma soma direta de uma estrutura livre de posto r e um grupo finito de ordem n. Desde a década de 1930, estuda-se a questão de saber se esses números são limitados no conjunto de todas as curvas elípticas sobre um determinado campo K. A limitação da torção n foi demonstrada nos anos setenta. Existem curvas de alto escalão arbitrário no caso funcional. No caso numérico, ainda não há resposta para essa pergunta.
Finalmente, a conjectura de Mordell afirma que o número de pontos inteiros é finito para uma curva do gênero g>1. No caso funcional, este conceito foi demonstrado por Yu. I. Manin em 1963. A principal ferramenta usada para provar teoremas de finitude na geometria diofantina é a altura. Das variedades algébricas, as dimensões acima de uma são abelianasas variedades, que são os análogos multidimensionais das curvas elípticas, foram as mais estudadas.
A. Weil generalizou o teorema da finitude do número de geradores de um grupo de pontos racionais para variedades abelianas de qualquer dimensão (o conceito de Mordell-Weil), estendendo-o. Na década de 1960, surgiu a conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer, aprimorando esta e o grupo e as funções zeta do manifold. A evidência numérica suporta esta hipótese.
Problema de Solubilidade
O problema de encontrar um algoritmo que possa ser usado para determinar se qualquer equação diofantina tem solução. Uma característica essencial do problema proposto é a busca de um método universal que seja adequado para qualquer desigualdade. Tal método também permitiria resolver os sistemas acima, pois é equivalente a P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 ou p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. O problema de encontrar uma maneira tão universal de encontrar soluções para desigualdades lineares em inteiros foi colocado por D. Gilberto.
No início da década de 1950, surgiram os primeiros estudos com o objetivo de provar a inexistência de um algoritmo para resolver equações diofantinas. Nessa época, surgiu a conjectura de Davis, que dizia que qualquer conjunto enumerável também pertence ao cientista grego. Porque exemplos de conjuntos algoritmicamente indecidíveis são conhecidos, mas são recursivamente enumeráveis. Segue-se que a conjectura de Davis é verdadeira e o problema da solubilidade dessas equaçõestem uma execução negativa.
Depois disso, para a conjectura de Davis, resta provar que existe um método para transformar uma inequação que também (ou não) ao mesmo tempo tem solução. Foi mostrado que tal mudança da equação diofantina é possível se ela possuir as duas propriedades acima: 1) em qualquer solução deste tipo v ≦ uu; 2) para qualquer k, existe uma execução com crescimento exponencial.
Um exemplo de uma equação diofantina linear desta classe completou a prova. O problema da existência de um algoritmo para a solubilidade e reconhecimento dessas desigualdades em números racionais ainda é considerado uma questão importante e em aberto que não foi suficientemente estudada.
