Estudar a teoria da probabilidade começa com a resolução de problemas de adição e multiplicação de probabilidades. Vale ress altar desde já que, ao dominar esse campo do conhecimento, o aluno pode encontrar um problema: se os processos físicos ou químicos podem ser representados visualmente e compreendidos empiricamente, então o nível de abstração matemática é muito alto, e a compreensão aqui só vem com experiência.
No entanto, o jogo vale a pena, porque as fórmulas - ambas consideradas neste artigo e as mais complexas - são usadas em todos os lugares hoje e podem ser úteis no trabalho.
Origem
Estranhamente, o ímpeto para o desenvolvimento desta seção da matemática foi… o jogo. De fato, dados, lançamento de moedas, pôquer, roleta são exemplos típicos que usam adição e multiplicação de probabilidades. No exemplo de tarefas em qualquer livro, isso pode ser visto claramente. As pessoas estavam interessadas em aprender como aumentar suas chances de ganhar, e devo dizer que algumas conseguiram.
Por exemplo, já no século 21, uma pessoa, cujo nome não divulgaremos,usou esse conhecimento acumulado ao longo dos séculos para literalmente “limpar” o cassino, ganhando várias dezenas de milhões de dólares na roleta.
No entanto, apesar do aumento do interesse pelo assunto, foi somente no século 20 que foi desenvolvido um arcabouço teórico que tornou o “teórico” um componente de pleno direito da matemática. Hoje, em quase todas as ciências, você pode encontrar cálculos usando métodos probabilísticos.
Aplicabilidade
Um ponto importante ao usar fórmulas de adição e multiplicação de probabilidades, a probabilidade condicional é a satisfatibilidade do teorema do limite central. Caso contrário, embora possa não ser realizado pelo aluno, todos os cálculos, por mais plausíveis que pareçam, estarão incorretos.
Sim, o aluno altamente motivado é tentado a usar novos conhecimentos em todas as oportunidades. Mas neste caso, deve-se desacelerar um pouco e delinear estritamente o escopo de aplicabilidade.
A teoria da probabilidade lida com eventos aleatórios, que em termos empíricos são resultados de experimentos: podemos lançar um dado de seis faces, tirar uma carta de um baralho, prever o número de peças defeituosas em um lote. No entanto, em algumas questões é categoricamente impossível usar fórmulas desta seção da matemática. Discutiremos as características de considerar as probabilidades de um evento, os teoremas de adição e multiplicação de eventos no final do artigo, mas por enquanto vamos aos exemplos.
Conceitos básicos
Um evento aleatório significa algum processo ou resultado que pode ou não aparecercomo resultado do experimento. Por exemplo, jogamos um sanduíche - ele pode cair manteiga ou manteiga para baixo. Qualquer um dos dois resultados será aleatório e não sabemos de antemão qual deles ocorrerá.
Ao estudar adição e multiplicação de probabilidades, precisamos de mais dois conceitos.
Eventos conjuntos são aqueles eventos, a ocorrência de um dos quais não exclui a ocorrência do outro. Digamos que duas pessoas atiram em um alvo ao mesmo tempo. Se um deles der um tiro bem sucedido, isso não afetará a habilidade do outro de acertar ou errar.
Inconsistentes serão tais eventos, cuja ocorrência é simultaneamente impossível. Por exemplo, ao retirar apenas uma bola da caixa, você não pode obter a azul e a vermelha ao mesmo tempo.
Designação
O conceito de probabilidade é indicado pela letra maiúscula latina P. A seguir, entre colchetes, estão os argumentos que denotam alguns eventos.
Nas fórmulas do teorema da adição, probabilidade condicional, teorema da multiplicação, você verá expressões entre colchetes, por exemplo: A+B, AB ou A|B. Eles serão calculados de várias maneiras, agora vamos a eles.
Adição
Vamos considerar os casos em que as fórmulas de adição e multiplicação são usadas.
Para eventos incompatíveis, a fórmula de adição mais simples é relevante: a probabilidade de qualquer um dos resultados aleatórios será igual à soma das probabilidades de cada um desses resultados.
Suponha que haja uma caixa com 2 balões azuis, 3 vermelhos e 5 amarelos. Há 10 itens no total na caixa. Qual é a porcentagem de verdade da afirmação de que vamos sortear uma bola azul ou vermelha? Será igual a 2/10 + 3/10, ou seja, cinquenta por cento.
No caso de eventos incompatíveis, a fórmula torna-se mais complicada, pois acrescenta-se um termo adicional. Voltaremos a ele em um parágrafo, após considerar mais uma fórmula.
Multiplicação
Adição e multiplicação de probabilidades de eventos independentes são usados em diferentes casos. Se, de acordo com a condição do experimento, estivermos satisfeitos com qualquer um dos dois resultados possíveis, calcularemos a soma; se quisermos obter dois resultados determinados um após o outro, recorreremos a uma fórmula diferente.
Voltando ao exemplo da seção anterior, queremos desenhar primeiro a bola azul e depois a vermelha. O primeiro número que conhecemos é 2/10. O que acontece depois? Restam 9 bolas, ainda há o mesmo número de bolas vermelhas - três peças. De acordo com os cálculos, você obtém 3/9 ou 1/3. Mas o que fazer com dois números agora? A resposta correta é multiplicar para obter 2/30.
Eventos Conjuntos
Agora podemos revisitar a fórmula da soma para eventos conjuntos. Por que estamos fugindo do assunto? Para aprender como as probabilidades são multiplicadas. Agora esse conhecimento será útil.
Já sabemos quais serão os dois primeiros termos (o mesmo que na fórmula de adição considerada anteriormente), agora precisamos subtrairo produto de probabilidades que acabamos de aprender a calcular. Para maior clareza, escrevemos a fórmula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Acontece que tanto a adição quanto a multiplicação de probabilidades são usadas em uma expressão.
Digamos que temos que resolver um dos dois problemas para obter crédito. Podemos resolver o primeiro com uma probabilidade de 0,3 e o segundo - 0,6. Solução: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Observe que simplesmente somar os números aqui não será suficiente.
Probabilidade Condicional
Finalmente, há o conceito de probabilidade condicional, cujos argumentos são indicados entre colchetes e separados por uma barra vertical. A entrada P(A|B) tem a seguinte redação: “probabilidade do evento A dado o evento B”.
Vejamos um exemplo: um amigo lhe dá um aparelho, que seja um telefone. Pode estar quebrado (20%) ou bom (80%). Você é capaz de reparar qualquer dispositivo que caia em suas mãos com uma probabilidade de 0,4 ou não consegue (0,6). Por fim, se o dispositivo estiver funcionando, você pode alcançar a pessoa certa com uma probabilidade de 0,7.
É fácil ver como a probabilidade condicional funciona neste caso: você não pode falar com uma pessoa se o telefone estiver quebrado, e se estiver bom, você não precisa consertá-lo. Assim, para obter resultados no "segundo nível", você precisa saber qual evento foi executado no primeiro.
Cálculos
Vamos considerar exemplos de resolução de problemas de adição e multiplicação de probabilidades, usando os dados do parágrafo anterior.
Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de vocêreparar o dispositivo fornecido a você. Para fazer isso, em primeiro lugar, deve estar com defeito e, em segundo lugar, você deve lidar com o reparo. Este é um problema típico de multiplicação: obtemos 0,20,4=0,08.
Qual é a probabilidade de você chegar imediatamente à pessoa certa? Mais fácil do que simples: 0,80,7=0,56. Nesse caso, você descobriu que o telefone está funcionando e fez uma chamada.
Finalmente, considere este cenário: você recebeu um telefone quebrado, consertou, então discou o número e a pessoa do lado oposto atendeu o telefone. Aqui, a multiplicação de três componentes já é necessária: 0, 20, 40, 7=0, 056.
E se você tiver dois telefones que não funcionam ao mesmo tempo? Qual a probabilidade de você corrigir pelo menos um deles? Este é um problema de adição e multiplicação de probabilidades, uma vez que são usados eventos conjuntos. Solução: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Uso com cuidado
Como mencionado no início do artigo, o uso da teoria das probabilidades deve ser deliberado e consciente.
Quanto maior a série de experimentos, mais próximo o valor teoricamente previsto se aproxima do valor prático. Por exemplo, estamos jogando uma moeda. Teoricamente, sabendo da existência de fórmulas para adição e multiplicação de probabilidades, podemos prever quantas vezes sairá cara e coroa se realizarmos o experimento 10 vezes. Fizemos um experimento eCoincidentemente, a proporção dos lados caídos foi de 3 para 7. Mas se você conduzir uma série de 100, 1000 ou mais tentativas, acontece que o gráfico de distribuição está se aproximando cada vez mais do teórico: 44 para 56, 482 para 518 e assim por diante.
Agora imagine que este experimento não é realizado com uma moeda, mas com a produção de alguma nova substância química, cuja probabilidade não conhecemos. Faríamos 10 experimentos e, se não tivéssemos um resultado bem-sucedido, poderíamos generalizar: "a substância não pode ser obtida". Mas quem sabe, se fizéssemos a décima primeira tentativa, teríamos alcançado a meta ou não?
Então, se você está indo para o desconhecido, o reino inexplorado, a teoria da probabilidade pode não se aplicar. Cada tentativa subsequente neste caso pode ser bem sucedida e generalizações como "X não existe" ou "X é impossível" serão prematuras.
Palavra de encerramento
Então vimos dois tipos de adição, multiplicação e probabilidades condicionais. Com um estudo mais aprofundado desta área, é necessário aprender a distinguir situações em que cada fórmula específica é usada. Além disso, você precisa entender se os métodos probabilísticos são geralmente aplicáveis para resolver seu problema.
Se você praticar, depois de um tempo você começará a realizar todas as operações necessárias exclusivamente em sua mente. Para quem gosta de jogos de cartas, essa habilidade pode ser consideradaextremamente valioso - você aumentará significativamente suas chances de ganhar, apenas calculando a probabilidade de uma determinada carta ou naipe cair. No entanto, o conhecimento adquirido pode ser facilmente aplicado em outras áreas de atuação.
