No curso escolar de geometria sólida, uma das figuras mais simples que tem dimensões diferentes de zero ao longo de três eixos espaciais é um prisma quadrangular. Considere no artigo que tipo de figura é, de quais elementos ela consiste e também como você pode calcular sua área de superfície e volume.
O conceito de prisma
Em geometria, um prisma é uma figura espacial, que é formada por duas bases idênticas e superfícies laterais que conectam os lados dessas bases. Observe que ambas as bases são transformadas uma na outra usando a operação de tradução paralela por algum vetor. Esta atribuição do prisma leva ao fato de que todos os seus lados são sempre paralelogramos.
O número de lados da base pode ser arbitrário, começando por três. Quando este número tende ao infinito, o prisma se transforma suavemente em um cilindro, pois sua base se torna um círculo, e os paralelogramos laterais, conectando-se, formam uma superfície cilíndrica.
Como qualquer poliedro, um prisma é caracterizado porlados (planos que delimitam a figura), arestas (segmentos ao longo dos quais dois lados se cruzam) e vértices (pontos de encontro de três lados, para um prisma dois deles são laterais e o terceiro é a base). As quantidades dos três elementos nomeados da figura estão interligadas pela seguinte expressão:
P=C + B - 2
Aqui P, C e B são o número de arestas, lados e vértices, respectivamente. Esta expressão é a notação matemática do teorema de Euler.
A imagem acima mostra dois prismas. Na base de um deles (A) encontra-se um hexágono regular, e os lados laterais são perpendiculares às bases. A Figura B mostra outro prisma. Seus lados não são mais perpendiculares às bases, e a base é um pentágono regular.
O que é um prisma quadrangular?
Como fica claro na descrição acima, o tipo de prisma é determinado principalmente pelo tipo de polígono que forma a base (ambas as bases são iguais, então podemos falar sobre uma delas). Se este polígono é um paralelogramo, obtemos um prisma quadrangular. Assim, todos os lados deste tipo de prisma são paralelogramos. Um prisma quadrangular tem seu próprio nome - um paralelepípedo.
O número de lados de um paralelepípedo é seis, e cada lado tem um paralelo semelhante a ele. Como as bases da caixa são dois lados, os quatro restantes são laterais.
O número de vértices do paralelepípedo é oito, o que é fácil de perceber se lembrarmos que os vértices do prisma são formados apenas nos vértices dos polígonos da base (4x2=8). Aplicando o teorema de Euler, obtemos o número de arestas:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
De 12 costelas, apenas 4 são formadas independentemente pelos lados. Os 8 restantes estão nos planos das bases da figura.
Mais adiante no artigo falaremos apenas sobre prismas quadrangulares.
Tipos de paralelepípedos
O primeiro tipo de classificação são as características do paralelogramo subjacente. Pode ficar assim:
- regular, cujos ângulos não são iguais a 90o;
- retângulo;
- um quadrado é um quadrilátero regular.
O segundo tipo de classificação é o ângulo em que o lado cruza a base. Dois casos diferentes são possíveis aqui:
- este ângulo não é reto, então o prisma é chamado de oblíquo ou oblíquo;
- o ângulo é 90o, então tal prisma é retangular ou apenas reto.
O terceiro tipo de classificação está relacionado à altura do prisma. Se o prisma for retangular e a base for um quadrado ou um retângulo, então ele é chamado de paralelepípedo. Se houver um quadrado na base, o prisma é retangular e sua altura é igual ao comprimento do lado do quadrado, obtemos a conhecida figura do cubo.
Superfície e área do prisma
O conjunto de todos os pontos que estão em duas bases de um prisma(paralelogramos) e em seus lados (quatro paralelogramos) formam a superfície da figura. A área dessa superfície pode ser calculada calculando a área da base e esse valor para a superfície lateral. Então sua soma dará o valor desejado. Matematicamente, isso é escrito da seguinte forma:
S=2So+ Sb
Aqui So e Sb são a área da base e da superfície lateral, respectivamente. O número 2 antes de So aparece porque há duas bases.
Observe que a fórmula escrita é válida para qualquer prisma, e não apenas para a área de um prisma quadrangular.
É útil lembrar que a área de um paralelogramo Sp é calculada pela fórmula:
Sp=ah
Onde os símbolos a e h denotam o comprimento de um de seus lados e a altura desenhada para este lado, respectivamente.
A área de um prisma retangular com base quadrada
Em um prisma quadrangular regular, a base é um quadrado. Por definição, denotamos seu lado pela letra a. Para calcular a área de um prisma quadrangular regular, você deve conhecer sua altura. De acordo com a definição para esta quantidade, é igual ao comprimento da perpendicular baixada de uma base a outra, ou seja, igual à distância entre elas. Vamos denotar pela letra h. Como todas as faces laterais são perpendiculares às bases para o tipo de prisma considerado, a altura de um prisma quadrangular regular será igual ao comprimento de sua aresta lateral.
BA fórmula geral para a área da superfície de um prisma é de dois termos. A área da base neste caso é fácil de calcular, é igual a:
So=a2
Para calcular a área da superfície lateral, argumentamos da seguinte forma: esta superfície é formada por 4 retângulos idênticos. Além disso, os lados de cada um deles são iguais a a e h. Isso significa que a área de Sb será igual a:
Sb=4ah
Observe que o produto 4a é o perímetro da base quadrada. Se generalizarmos esta expressão para o caso de uma base arbitrária, então para um prisma retangular a superfície lateral pode ser calculada da seguinte forma:
Sb=Poh
Onde Po é o perímetro da base.
Voltando ao problema de calcular a área de um prisma quadrangular regular, podemos escrever a fórmula final:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Área de um paralelepípedo oblíquo
Calcular é um pouco mais difícil do que para um retangular. Nesse caso, a área da base de um prisma quadrangular é calculada usando a mesma fórmula de um paralelogramo. As mudanças dizem respeito à forma como a área de superfície lateral é determinada.
Para fazer isso, use a mesma fórmula através do perímetro, conforme indicado no parágrafo acima. Só que agora terá multiplicadores ligeiramente diferentes. A fórmula geral para Sb no caso de um prisma oblíquo é:
Sb=Psrc
Aqui c é o comprimento da aresta lateral da figura. O valor Psr é o perímetro da fatia retangular. Este ambiente é construído da seguinte forma: é necessário cruzar todas as faces laterais com um plano para que fique perpendicular a todas elas. O retângulo resultante será o corte desejado.
A figura acima mostra um exemplo de uma caixa oblíqua. Sua seção hachurada forma ângulos retos com os lados. O perímetro da seção é Psr. É formado por quatro alturas de paralelogramos laterais. Para este prisma quadrangular, a área de superfície lateral é calculada usando a fórmula acima.
O comprimento da diagonal de um paralelepípedo
A diagonal de um paralelepípedo é um segmento que liga dois vértices que não possuem lados comuns que os formam. Existem apenas quatro diagonais em qualquer prisma quadrangular. Para um paralelepípedo com um retângulo na base, os comprimentos de todas as diagonais são iguais entre si.
A figura abaixo mostra a figura correspondente. O segmento vermelho é sua diagonal.
Calcular seu comprimento é muito simples, se você se lembrar do teorema de Pitágoras. Cada aluno pode obter a fórmula desejada. Tem a seguinte forma:
D=√(A2+ B2 + C2)
Aqui D é o comprimento da diagonal. Os caracteres restantes são os comprimentos dos lados da caixa.
Muitas pessoas confundem a diagonal de um paralelepípedo com as diagonais de seus lados. Abaixo está uma imagem onde o coloridoos segmentos representam as diagonais dos lados da figura.
O comprimento de cada um deles também é determinado pelo teorema de Pitágoras e é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos comprimentos dos lados correspondentes.
Volume Prisma
Além da área de um prisma quadrangular regular ou de outros tipos de prismas, para resolver alguns problemas geométricos, você também deve conhecer seu volume. Este valor para absolutamente qualquer prisma é calculado pela seguinte fórmula:
V=Soh
Se o prisma for retangular, basta calcular a área de sua base e multiplicá-la pelo comprimento da aresta do lado para obter o volume da figura.
Se o prisma for um prisma quadrangular regular, então seu volume será:
V=a2h.
É fácil ver que esta fórmula é convertida em uma expressão para o volume de um cubo se o comprimento da aresta lateral h for igual ao lado da base a.
Problema com um paralelepípedo
Para consolidar o material estudado, vamos resolver o seguinte problema: existe um paralelepípedo retangular cujos lados medem 3 cm, 4 cm e 5 cm. É necessário calcular sua área superficial, comprimento diagonal e volume.
Para definição, vamos supor que a base da figura é um retângulo com lados de 3 cm e 4 cm. Então sua área é 12 cm2, e o período é 14 cm. Usando a fórmula para a área da superfície do prisma, temos:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Para determinar o comprimento da diagonal e o volume da figura, você pode usar diretamente as expressões acima:
D=√(32+42+52)=7. 071 cm;
V=345=60cm3.
Problema com um paralelepípedo oblíquo
A figura abaixo mostra um prisma oblíquo. Seus lados são iguais: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Você precisa encontrar a área da superfície desta figura.
Primeiro, vamos determinar a área da base. A figura mostra que o ângulo agudo é 50o. Então sua área é:
So=ha=sin(50o)ba
Para determinar a área da superfície lateral, você deve encontrar o perímetro do retângulo sombreado. Os lados desse retângulo são asin(45o) e bsin(60o). Então o perímetro desse retângulo é:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
A área total da superfície desta caixa é:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Substituímos os dados da condição do problema pelos comprimentos dos lados da figura, obtemos a resposta:
S=458, 5496 cm3
Pode-se ver a partir da solução deste problema que as funções trigonométricas são usadas para determinar as áreas de figuras oblíquas.
