Para tornar mais fácil para o leitor imaginar o que é um hiperbolóide - um objeto tridimensional - você precisa primeiro considerar a hipérbole curva de mesmo nome, que se encaixa em um espaço bidimensional.
Uma hipérbole tem dois eixos: o real, que nesta figura coincide com o eixo das abcissas, e o imaginário, com o eixo y. Se você mentalmente começar a girar a equação de uma hipérbole em torno de seu eixo imaginário, então a superfície "vista" pela curva será um hiperbolóide de folha única.
Se, no entanto, começarmos a girar a hipérbole em torno de seu eixo real dessa maneira, cada uma das duas "metades" da curva formará sua própria superfície separada e, juntas, serão chamadas de duas hiperboloide em folha.
Obtidos pela rotação da curva plana correspondente, são respectivamente chamados de hiperbolóides de rotação. Possuem parâmetros em todas as direções perpendiculares ao eixo de rotação,pertencente à curva rotacionada. Em geral, este não é o caso.
Equação hiperbolóide
Em geral, uma superfície pode ser definida pelas seguintes equações em coordenadas cartesianas(x, y, z):
No caso de um hiperbolóide de revolução, sua simetria em torno do eixo em torno do qual girou é expressa na igualdade dos coeficientes a=b.
Características do hiperbolóide
Ele tem um truque. Sabemos que as curvas em um plano têm focos - no caso de uma hipérbole, por exemplo, o módulo da diferença de distâncias de um ponto arbitrário em uma hipérbole a um foco e o segundo é constante por definição, de fato, de foco pontos.
Ao passar para o espaço tridimensional, a definição praticamente não muda: os focos são novamente dois pontos, e a diferença de distância deles a um ponto arbitrário pertencente à superfície hiperbolóide é constante. Como você pode ver, apenas a terceira coordenada apareceu das alterações para todos os pontos possíveis, pois agora estão definidas no espaço. De um modo geral, definir um foco equivale a identificar o tipo de curva ou superfície: falando sobre como os pontos da superfície estão localizados em relação aos focos, na verdade respondemos à pergunta sobre o que é um hiperbolóide e como ele se parece.
Vale lembrar que uma hipérbole possui assíntotas - linhas retas, para as quais seus ramos tendem ao infinito. Se, ao construir um hiperbolóide de revolução, rodar mentalmente as assíntotas junto com a hipérbole, então, além do hiperbolóide, também obterá um cone chamado assintótico. O cone assintótico épara hiperbolóides de uma e duas folhas.
Outra característica importante que apenas um hiperbolóide de uma folha possui são os geradores retilíneos. Como o nome indica, são linhas e estão completamente em uma determinada superfície. Dois geradores retilíneos passam por cada ponto de um hiperbolóide de uma folha. Eles pertencem respectivamente a duas famílias de linhas, que são descritas pelos seguintes sistemas de equações:
Assim, um hiperbolóide de uma folha pode ser inteiramente composto por um número infinito de linhas retas de duas famílias, e cada linha de uma delas se cruzará com todas as linhas da outra. As superfícies correspondentes a tais propriedades são chamadas de regradas; eles podem ser construídos usando a rotação de uma linha reta. A definição através do arranjo mútuo de linhas (geradores retilíneos) no espaço também pode servir como uma designação inequívoca do que é um hiperbolóide.
Propriedades interessantes de um hiperbolóide
Curvas de segunda ordem e suas superfícies de revolução correspondentes têm propriedades ópticas interessantes associadas aos focos. No caso de um hiperbolóide, isso é formulado da seguinte forma: se um raio é disparado de um foco, então, tendo refletido da "parede" mais próxima, ele tomará uma direção como se viesse do segundo foco.
Hiperbolóides na vida
Provavelmente, a maioria dos leitores começou a se familiarizar com geometria analítica e superfícies de segunda ordem de um romance de ficção científica de Alexei Tolstoy"Engenheiro hiperbolóide Garin". No entanto, o próprio escritor ou não sabia bem o que era um hiperbolóide, ou sacrificou a precisão em nome da arte: a invenção descrita, em termos de características físicas, é antes um parabolóide que reúne todos os raios em um foco (enquanto o propriedades ópticas do hiperbolóide estão associadas ao espalhamento de raios).
As chamadas estruturas hiperbolóides são muito populares na arquitetura: são estruturas que têm a forma de um hiperbolóide de folha única ou um parabolóide hiperbólico. O fato é que somente essas superfícies de revolução de segunda ordem possuem geradores retilíneos: assim, uma estrutura curva só pode ser construída a partir de vigas retas. As vantagens de tais estruturas estão na capacidade de suportar cargas pesadas, por exemplo, do vento: a forma hiperbolóide é usada na construção de estruturas altas, por exemplo, torres de televisão.
