Para entender quais são os pontos extremos de uma função, não é necessário saber sobre a presença da primeira e segunda derivadas e entender seu significado físico. Primeiro você precisa entender o seguinte:
- função extrema maximiza ou, inversamente, minimiza o valor da função em uma vizinhança arbitrariamente pequena;
- Não deve haver uma quebra de função no ponto extremo.
E agora o mesmo, apenas em linguagem simples. Olhe para a ponta de uma caneta esferográfica. Se a caneta for colocada verticalmente, com a escrita para cima, o meio da bola será o ponto extremo - o ponto mais alto. Neste caso, falamos sobre o máximo. Agora, se você virar a caneta com a ponta da escrita para baixo, no meio da bola já haverá um mínimo da função. Com a ajuda da figura dada aqui, você pode imaginar as manipulações listadas para um lápis de papelaria. Assim, os extremos de uma função são sempre pontos críticos: seus máximos ou mínimos. A seção adjacente do gráfico pode ser arbitrariamente nítida ou suave, mas deve existir em ambos os lados, somente neste caso o ponto é um extremo. Se o gráfico estiver presente apenas de um lado, este ponto não será um extremo mesmo que de um ladocondições extremas são atendidas. Agora vamos estudar os extremos da função do ponto de vista científico. Para que um ponto seja considerado extremo, é necessário e suficiente que:
- a primeira derivada era igual a zero ou não existia no ponto;
- a primeira derivada mudou de sinal neste ponto.
A condição é interpretada de maneira um pouco diferente do ponto de vista das derivadas de ordem superior: para uma função diferenciável em um ponto, é suficiente que exista uma derivada de ordem ímpar que não seja igual a zero, enquanto todas derivadas de ordem inferior devem existir e ser iguais a zero. Esta é a interpretação mais simples dos teoremas dos livros de matemática superior. Mas para as pessoas mais comuns, vale a pena explicar esse ponto com um exemplo. A base é uma parábola comum. Faça imediatamente uma reserva, no ponto zero tem um mínimo. Apenas um pouco de matemática:
- primeira derivada (X2)|=2X, para ponto zero 2X=0;
- segunda derivada (2X)|=2, para ponto zero 2=2.
Esta é uma ilustração simples das condições que determinam os extremos da função tanto para derivadas de primeira ordem quanto para derivadas de ordem superior. Podemos acrescentar a isso que a segunda derivada é apenas a mesma derivada de ordem ímpar, diferente de zero, que foi discutida um pouco mais acima. Quando se trata de extremos de uma função de duas variáveis, as condições devem ser atendidas para ambos os argumentos. Quandogeneralização ocorre, então as derivadas parciais são usadas. Ou seja, é necessário para a presença de um extremo em um ponto que ambas as derivadas de primeira ordem sejam iguais a zero, ou pelo menos uma delas não exista. Para a suficiência da presença de um extremo, investiga-se uma expressão, que é a diferença entre o produto das derivadas de segunda ordem e o quadrado da derivada mista de segunda ordem da função. Se esta expressão for maior que zero, então há um extremo, e se houver zero, então a questão permanece em aberto, e pesquisas adicionais são necessárias.
