Matrizes e determinantes foram descobertos nos séculos XVIII e XIX. Inicialmente, seu desenvolvimento dizia respeito à transformação de objetos geométricos e à solução de sistemas de equações lineares. Historicamente, a ênfase inicial estava no determinante. Nos métodos modernos de processamento de álgebra linear, as matrizes são consideradas em primeiro lugar. Vale a pena refletir um pouco sobre essa questão.
Respostas desta área do conhecimento
Matrizes fornecem uma maneira teórica e prática útil para resolver muitos problemas, como:
- sistemas de equações lineares;
- equilíbrio de sólidos (em física);
- teoria dos grafos;
- Modelo econômico de Leontief;
- floresta;
- computação gráfica e tomografia;
- genética;
- criptografia;
- redes elétricas;
- fractal.
Na verdade, a álgebra matricial para "dummies" tem uma definição simplificada. Assim se expressa: trata-se de um campo científico do conhecimento no qualos valores em questão são estudados, analisados e totalmente explorados. Nesta seção de álgebra, várias operações nas matrizes em estudo são estudadas.
Como trabalhar com matrizes
Estes valores são considerados iguais se tiverem as mesmas dimensões e cada elemento de um for igual ao elemento correspondente do outro. É possível multiplicar uma matriz por qualquer constante. Este dado é chamado de multiplicação escalar. Exemplo: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrizes de mesmo tamanho podem ser somadas e subtraídas por entradas, e valores de tamanhos compatíveis podem ser multiplicados. Exemplo: adicione dois A e B: A=[21−10]B=[1423]. Isso é possível porque A e B são matrizes com duas linhas e o mesmo número de colunas. É necessário adicionar cada elemento em A ao elemento correspondente em B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. As matrizes são subtraídas da mesma forma na álgebra.
Multiplicação de matrizes funciona um pouco diferente. Além disso, pode haver muitos casos e opções, bem como soluções. Se multiplicarmos a matriz Apq e Bmn, então o produto Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. A entrada na g-ésima linha e na h-ésima coluna de AB é a soma do produto das entradas correspondentes em g A e h B. Só é possível multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira e de linhas da segunda são iguais. Exemplo: preencha a condição para considerados A e B: A=[1−130]B=[2−11214]. Isso é possível porque a primeira matriz contém 2 colunas e a segunda contém 2 linhas. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Informações básicas sobre matrizes
Os valores em questão organizam informações como variáveis e constantes e as armazenam em linhas e colunas, normalmente chamadas de C. Cada posição na matriz é chamada de elemento. Exemplo: C=[1234]. Consiste em duas linhas e duas colunas. O elemento 4 está na linha 2 e na coluna 2. Normalmente, você pode nomear uma matriz de acordo com suas dimensões, a chamada Cmk tem m linhas e k colunas.
Matrizes expandidas
Considerações são coisas incrivelmente úteis que surgem em diversas áreas de aplicação. Matrizes foram originalmente baseadas em sistemas de equações lineares. Dada a seguinte estrutura de desigualdades, deve-se levar em conta a seguinte matriz complementada:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Anote os coeficientes e os valores de resposta, incluindo todos os sinais de menos. Se o elemento com um número negativo, então será igual a "1". Ou seja, dado um sistema de equações (lineares), é possível associar a ele uma matriz (grade de números entre colchetes). É aquele que contém apenas os coeficientes do sistema linear. Isso é chamado de "matriz expandida". A grade contendo os coeficientes do lado esquerdo de cada equação foi "preenchida" com as respostas do lado direito de cada equação.
Registros, ou sejaos valores B da matriz correspondem aos valores x-, y- e z no sistema original. Se estiver devidamente organizado, primeiro verifique-o. Às vezes você precisa reorganizar os termos ou inserir zeros como espaços reservados na matriz que está sendo estudada ou estudada.
Dado o seguinte sistema de equações, podemos escrever imediatamente a matriz aumentada associada:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Primeiro, certifique-se de reorganizar o sistema como:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Então é possível escrever a matriz associada como: [11000113-1012]. Ao formar um estendido, vale usar zero para qualquer registro em que o ponto correspondente no sistema de equações lineares esteja vazio.
Álgebra Matriz: Propriedades das Operações
Se for necessário formar elementos apenas a partir de valores de coeficientes, o valor considerado será assim: [110011-101]. Isso é chamado de "matriz de coeficientes".
Tendo em conta a seguinte álgebra de matrizes estendidas, é necessário melhorá-la e adicionar o sistema linear associado. Dito isso, é importante lembrar que eles exigem que as variáveis sejam bem organizadas e organizadas. E geralmente quando há três variáveis, use x, yez nessa ordem. Portanto, o sistema linear associado deve ser:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Tamanho da matriz
Os itens em questão são frequentemente referidos pelo seu desempenho. O tamanho de uma matriz em álgebra é dado comomedições, uma vez que a sala pode ser chamada de forma diferente. Medidas medidas de valores são linhas e colunas, não largura e comprimento. Por exemplo, matriz A:
[1234]
[2345]
[3456].
Como A tem três linhas e quatro colunas, o tamanho de A é 3 × 4.
→
↓
As linhas vão para os lados. As colunas sobem e descem. "Linha" e "coluna" são especificações e não são intercambiáveis. Os tamanhos das matrizes são sempre especificados com o número de linhas e depois com o número de colunas. Seguindo esta convenção, o seguinte B:
[123]
[234] é 2 × 3. Se uma matriz tem o mesmo número de linhas que colunas, então ela é chamada de "quadrado". Por exemplo, valores de coeficiente acima:
[110]
[011]
[-101] é uma matriz quadrada 3×3.
Notação e formatação da matriz
Nota de formatação: Por exemplo, quando você precisa escrever uma matriz, é importante usar colchetes . As barras de valor absoluto || não são usadas porque têm uma direção diferente neste contexto. Parênteses ou chaves {} nunca são usados. Ou algum outro símbolo de agrupamento, ou nenhum, pois essas apresentações não têm nenhum significado. Em álgebra, uma matriz está sempre entre colchetes. Somente a notação correta deve ser usada, ou as respostas podem ser consideradas distorcidas.
Como mencionado anteriormente, os valores contidos em uma matriz são chamados de registros. Por qualquer motivo, os elementos em questão geralmente são escritosletras maiúsculas, como A ou B, e as entradas são especificadas usando as letras minúsculas correspondentes, mas com subscritos. Na matriz A, os valores geralmente são chamados de "ai, j", onde i é a linha de A e j é a coluna de A. Por exemplo, a3, 2=8. A entrada para a1, 3 é 3.
Para matrizes menores, aquelas com menos de dez linhas e colunas, a vírgula subscrito às vezes é omitida. Por exemplo, "a1, 3=3" pode ser escrito como "a13=3". Obviamente, isso não funcionará para matrizes grandes, pois a213 será obscuro.
Tipos de matriz
Às vezes classificados de acordo com suas configurações de registro. Por exemplo, uma matriz que tem todas as entradas zero abaixo da diagonal superior-esquerda-inferior-direita "diagonal" é chamada de triangular superior. Entre outras coisas, pode haver outros tipos e tipos, mas eles não são muito úteis. Geralmente, principalmente percebido como triangular superior. Valores com expoentes diferentes de zero apenas na horizontal são chamados de valores diagonais. Tipos semelhantes possuem entradas diferentes de zero em que todas são 1, tais respostas são chamadas de idênticas (por motivos que ficarão claros quando for aprendido e entendido como multiplicar os valores em questão). Existem muitos indicadores de pesquisa semelhantes. A identidade 3 × 3 é denotada por I3. Da mesma forma, a identidade 4 × 4 é I4.
Álgebra Matriz e Espaços Lineares
Observe que as matrizes triangulares são quadradas. Mas as diagonais são triangulares. Diante disso, sãoquadrado. E as identidades são consideradas diagonais e, portanto, triangulares e quadradas. Quando é necessário descrever uma matriz, geralmente se especifica simplesmente sua própria classificação mais específica, pois isso implica em todas as outras. Classifique as seguintes opções de pesquisa:como 3 × 4. Neste caso, elas não são quadradas. Portanto, os valores não podem ser outros. A seguinte classificação:é possível como 3 × 3. Mas é considerado um quadrado, e não há nada de especial nisso. Classificação dos seguintes dados:como triangular superior 3 × 3, mas não diagonal. É verdade que nos valores em consideração podem haver zeros adicionais ou acima do espaço localizado e indicado. A classificação em estudo é ainda: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], onde é representado como uma diagonal e, além disso, as entradas são todas 1. Então esta é uma identidade 3 × 3, I3.
Como matrizes análogas são por definição quadradas, você só precisa usar um único índice para encontrar suas dimensões. Para que duas matrizes sejam iguais, elas devem ter o mesmo parâmetro e ter as mesmas entradas nos mesmos lugares. Por exemplo, suponha que haja dois elementos em consideração: A=[1 3 0] [-2 0 0] e B=[1 3] [-2 0]. Esses valores não podem ser iguais, pois são diferentes em tamanho.
Mesmo se A e B forem: A=[3 6] [2 5] [1 4] e B=[1 2 3] [4 5 6] - eles ainda não são os mesmos mesma coisa. A e B têm cadaseis entradas e também têm os mesmos números, mas isso não é suficiente para matrizes. A é 3 × 2. E B é uma matriz 2 × 3. A para 3 × 2 não é 2 × 3. Não importa se A e B têm a mesma quantidade de dados ou mesmo os mesmos números que os registros. Se A e B não são do mesmo tamanho e forma, mas possuem valores idênticos em lugares semelhantes, eles não são iguais.
Operações semelhantes na área considerada
Esta propriedade de igualdade matricial pode ser transformada em tarefas para pesquisas independentes. Por exemplo, duas matrizes são dadas e é indicado que elas são iguais. Nesse caso, você precisará usar essa igualdade para explorar e obter respostas para os valores das variáveis.
Exemplos e soluções de matrizes em álgebra podem ser variados, especialmente quando se trata de igualdades. Dado que as seguintes matrizes são consideradas, é necessário encontrar os valores de xey. Para que A e B sejam iguais, eles devem ter o mesmo tamanho e forma. Na verdade, eles são assim, porque cada um deles é matrizes 2 × 2. E devem ter os mesmos valores nos mesmos lugares. Então a1, 1 deve ser igual a b1, 1, a1, 2 deve ser igual a b1, 2 e assim por diante. Mas, a1, 1=1 obviamente não é igual a b1, 1=x. Para que A seja idêntico a B, a entrada deve ter a1, 1=b1, 1, então é capaz de ser 1=x. Da mesma forma, os índices a2, 2=b2, 2, então 4=y. Então a solução é: x=1, y=4. Dado que o seguintematrizes são iguais, você precisa encontrar os valores de x, y e z. Para ter A=B, os coeficientes devem ter todas as entradas iguais. Ou seja, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 e assim por diante. Em particular, deve:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Como você pode ver nas matrizes selecionadas: com 1, 1-, 2, 2- e 3, 1-elementos. Resolvendo essas três equações, obtemos a resposta: x=4, y=-6 ez=9. Álgebra matricial e operações matriciais são diferentes do que todos estão acostumados, mas não são reproduzíveis.
Informações adicionais nesta área
Álgebra de matrizes lineares é o estudo de conjuntos semelhantes de equações e suas propriedades de transformação. Este campo de conhecimento permite analisar rotações no espaço, aproximar mínimos quadrados, resolver equações diferenciais associadas, determinar um círculo que passa por três pontos dados e resolver muitos outros problemas em matemática, física e tecnologia. A álgebra linear de uma matriz não é realmente o sentido técnico da palavra usada, ou seja, um espaço vetorial v sobre um corpo f, etc.
Matriz e determinante são ferramentas de álgebra linear extremamente úteis. Uma das tarefas centrais é a solução da equação matricial Ax=b, para x. Embora isso possa teoricamente ser resolvido usando o inverso x=A-1 b. Outros métodos, como a eliminação de Gauss, são numericamente mais confiáveis.
Além de ser usado para descrever o estudo de conjuntos lineares de equações, oo termo acima também é usado para descrever um certo tipo de álgebra. Em particular, L sobre um corpo F tem a estrutura de um anel com todos os axiomas usuais para adição e multiplicação interna, juntamente com leis distributivas. Portanto, dá-lhe mais estrutura do que um anel. A álgebra matricial linear também admite uma operação externa de multiplicação por escalares que são elementos do campo subjacente F. Por exemplo, o conjunto de todas as transformações consideradas de um espaço vetorial V para si mesmo sobre um corpo F é formado sobre F. álgebra é o conjunto de todas as matrizes quadradas reais sobre um corpo R números reais.
