Círculo é a figura principal da geometria, cujas propriedades são consideradas na escola na 8ª série. Um dos problemas típicos associados a um círculo é encontrar a área de alguma parte dele, que é chamada de setor circular. O artigo fornece fórmulas para a área de um setor e o comprimento de seu arco, além de um exemplo de seu uso para a resolução de um problema específico.
O conceito de círculo e círculo
Antes de dar a fórmula para a área de um setor de um círculo, vamos considerar qual é a figura indicada. De acordo com a definição matemática, um círculo é entendido como uma figura em um plano, cujos pontos são equidistantes de algum ponto (centro).
Ao considerar um círculo, a seguinte terminologia é usada:
- Raio - um segmento que é desenhado do ponto central até a curva do círculo. Geralmente é indicado pela letra R.
- Diâmetro é um segmento que conecta dois pontos do círculo, mas também passa pelo centro da figura. Geralmente é indicado pela letra D.
- Arc é parte de um círculo curvo. É medido em unidades de comprimento ou usando ângulos.
Círculo é outra figura geométrica importante, é uma coleção de pontos que é delimitada por um círculo curvo.
Área e circunferência do círculo
Os valores anotados no título do item são calculados usando duas fórmulas simples. Eles estão listados abaixo:
- Circunferência: L=2piR.
- Área de um círculo: S=piR2.
Nestas fórmulas, pi é uma constante chamada Pi. É irracional, ou seja, não pode ser expresso exatamente como uma fração simples. Pi é aproximadamente 3,1416.
Como você pode ver pelas expressões acima, para calcular a área e o comprimento, basta conhecer apenas o raio do círculo.
A área do setor do círculo e o comprimento de seu arco
Antes de considerar as fórmulas correspondentes, lembramos que o ângulo na geometria geralmente é expresso de duas maneiras principais:
- em graus sexagesimais, e uma rotação completa em torno de seu eixo é 360o;
- em radianos, expressos como frações de pi e relacionados a graus pela seguinte equação: 2pi=360o.
O setor de um círculo é uma figura delimitada por três linhas: um arco de círculo e dois raios localizados nas extremidades desse arco. Um exemplo de setor circular é mostrado na foto abaixo.
Para ter uma ideia do que é um setor para um círculo, é fácilentender como calcular sua área e o comprimento do arco correspondente. Pode-se ver na figura acima que o arco do setor corresponde ao ângulo θ. Sabemos que um círculo completo corresponde a 2pi radianos, então a fórmula para a área de um setor circular terá a forma: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Aqui o ângulo θ é expresso em radianos. Uma fórmula semelhante para a área do setor, se o ângulo θ for medido em graus, ficará assim: S1=piθR2 /360.
O comprimento do arco que forma um setor é calculado pela fórmula: L1=θ2piR/(2pi)=θR. E se θ for conhecido em graus, então: L1=piθR/180.
Exemplo de resolução de problemas
Vamos usar o exemplo de um problema simples para mostrar como usar as fórmulas para a área de um setor de um círculo e o comprimento de seu arco.
Sabe-se que a roda tem 12 raios. Quando a roda faz uma volta completa, ela cobre uma distância de 1,5 metros. Qual é a área entre dois raios adjacentes da roda e qual é o comprimento do arco entre eles?
Como você pode ver pelas fórmulas correspondentes, para usá-las, você precisa conhecer duas quantidades: o raio do círculo e o ângulo do arco. O raio pode ser calculado a partir do conhecimento da circunferência da roda, pois a distância percorrida por ela em uma volta corresponde exatamente a ela. Temos: 2Rpi=1,5, sendo: R=1,5/(2pi)=0,2387 metros. O ângulo entre os raios mais próximos pode ser determinado conhecendo seu número. Assumindo que todos os 12 raios dividem o círculo uniformemente em setores iguais, obtemos 12 setores idênticos. Assim, a medida angular do arco entre os dois raios é: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radianos.
Encontramos todos os valores necessários, agora eles podem ser substituídos nas fórmulas e calcular os valores exigidos pela condição do problema. Obtemos: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, ou 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m ou 12,5 cm.
