Prisma é um poliedro ou poliedro, que é estudado no curso escolar de geometria sólida. Uma das propriedades importantes deste poliedro é o seu volume. Vamos considerar no artigo como esse valor pode ser calculado e também fornecer as fórmulas para o volume dos prismas - quadrangular regular e hexagonal.
Prisma em estereometria
Esta figura é entendida como um poliedro, que consiste em dois polígonos idênticos localizados em planos paralelos, e de vários paralelogramos. Para certos tipos de prismas, os paralelogramos podem representar quadriláteros ou quadrados retangulares. Abaixo está um exemplo de um chamado prisma pentagonal.
Para construir uma figura como na figura acima, você precisa pegar um pentágono e realizar sua transferência paralela a uma certa distância no espaço. Conectando os lados de dois pentágonos usando paralelogramos, obtemos o prisma desejado.
Todo prisma consiste em faces, vértices e arestas. Os vértices do prismaao contrário da pirâmide, são iguais, cada um deles se refere a uma das duas bases. As faces e arestas são de dois tipos: as que pertencem às bases e as que pertencem aos lados.
Prismas são de vários tipos (correto, oblíquo, convexo, reto, côncavo). Vamos considerar mais adiante no artigo por qual fórmula o volume de um prisma é calculado, levando em consideração a forma da figura.
Expressão geral para determinar o volume de um prisma
Independentemente do tipo a que pertence a figura em estudo, se é reta ou oblíqua, regular ou irregular, existe uma expressão universal que permite determinar o seu volume. O volume de uma figura espacial é a área do espaço que está encerrada entre suas faces. A fórmula geral para o volume de um prisma é:
V=So × h.
Aqui So representa a área da base. Deve-se lembrar que estamos falando de uma base, e não de duas. O valor de h é a altura. A altura da figura em estudo é entendida como a distância entre suas bases idênticas. Se essa distância coincide com os comprimentos das nervuras laterais, fala-se de um prisma reto. Em uma figura reta, todos os lados são retângulos.
Assim, se um prisma for oblíquo e tiver um polígono de base irregular, então calcular seu volume se torna mais complicado. Se a figura for reta, o cálculo do volume será reduzido apenas para determinar a área da base So.
Determinando o volume de uma figura regular
Regular é qualquer prisma reto e de base poligonal com lados e ângulos iguais entre si. Por exemplo, esses polígonos regulares são um quadrado e um triângulo equilátero. Ao mesmo tempo, um losango não é uma figura regular, pois nem todos os seus ângulos são iguais.
A fórmula para o volume de um prisma regular segue inequivocamente da expressão geral para V, que foi escrita no parágrafo anterior do artigo. Antes de escrever a fórmula correspondente, é necessário determinar a área da base correta. Sem entrar em detalhes matemáticos, apresentamos a fórmula para determinar a área indicada. É universal para qualquer n-gon regular e tem a seguinte forma:
S=n/4 × ctg (pi/n) × a2.
Como você pode ver pela expressão, a área Sn é uma função de dois parâmetros. Um inteiro n pode assumir valores de 3 a infinito. O valor a é o comprimento do lado do n-gon.
Para calcular o volume de uma figura, basta multiplicar a área S pela altura h ou pelo comprimento da aresta lateral b (h=b). Como resultado, chegamos à seguinte fórmula de trabalho:
V=n/4 × ctg (pi/n) × a2 × h.
Observe que para determinar o volume de um prisma de tipo arbitrário, você precisa conhecer várias quantidades (comprimentos dos lados da base, altura, ângulos diedros da figura), mas para calcular o valor V de um prisma regular, precisamos conhecer apenas dois parâmetros lineares, por exemplo, a e h.
O volume de um prisma regular quadrangular
Um prisma quadrangular é chamado de paralelepípedo. Se todas as suas faces forem iguais e quadradas, essa figura será um cubo. Todo estudante sabe que o volume de um paralelepípedo ou cubo retangular é determinado pela multiplicação de seus três lados diferentes (comprimento, altura e largura). Este fato decorre da expressão de volume geral escrita para uma figura regular:
V=n/4 × ctg (pi/n) × a2 × h=4/4 × ctg (pi/4) × a2× h=a2 × h.
Aqui a cotangente de 45° é igual a 1. Observe que a igualdade da altura he o comprimento do lado da base a leva automaticamente à fórmula do volume de um cubo.
Volume do prisma regular hexagonal
Agora aplique a teoria acima para determinar o volume de uma figura com base hexagonal. Para isso, basta substituir o valor n=6 na fórmula:
V=6/4 × ctg (pi / 6) × a2 × h=3 × √3/2 × a2 × h.
A expressão escrita pode ser obtida independentemente sem usar a fórmula universal para S. Para fazer isso, você precisa dividir o hexágono regular em seis triângulos equiláteros. O lado de cada um deles será igual a a. A área de um triângulo corresponde a:
S3=√3/4 × a2.
Multiplicando esse valor pelo número de triângulos (6) e pela altura, obtemos a fórmula acima para o volume.
